Convergenza di un integrale parametrizzato

Buongiorno, sono bloccato e ho dei dubbi sullo svolgimento di un esercizio che mi chiede di stabilire se il seguente integrale converge o diverge al variare di \(\displaystyle \alpha \).

\(\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x^\alpha})}{|x-2|^{\alpha+1/3}} \)

Studiando \(\displaystyle \alpha >0\) ho considerato \(A = \displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x^\alpha})}{(x-2)^{\alpha+1/3}} dx\) e ho ragionato così
per \(\displaystyle x\to+\infty \) si ha \(\displaystyle \ln(1+1/x^\alpha)\sim 1/x^\alpha \implies \frac{\ln(1+\frac{1}{x^\alpha})}{(x-2)^{\alpha+1/3}} \sim \frac{1}{x^\alpha(x-2)^{\alpha+1/3}}\sim\frac{1}{x^{2\alpha+1/3}}\)

dunque l'ho integrato, ho visto che diverge a \(\displaystyle +\infty \) e dunque per il teorema del confronto asintotico sugli integrali impropri deve divergere anche \(\displaystyle A \), domanda:
questo significa che posso anche non studiare \(\displaystyle \int_1^2 \) di quella funzione perchè tanto tra \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle +\infty \) diverge?

Tuttavia per \(\displaystyle \frac{1}{3}<\alpha <0\) non ho molte idee, ho provato a ragionare in modo simile, \(A = \displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\ln(1+x^{-\alpha})}{(x-2)^{\alpha+1/3}} dx\)
per \(\displaystyle x\to+\infty \) si ha \(\displaystyle \ln(1+x^{-\alpha})\sim \ln(x^{-\alpha}) \implies \frac{\ln(1+x^{-\alpha})}{(x-2)^{\alpha+1/3}} \sim \frac{\ln(x^{-\alpha})}{x^{\alpha+1/3}}=\frac{-\alpha\ln x}{x^{\alpha+1/3}}\)
ma arrivato qui mi son bloccato, probabilmente non è questa la strada.

Non so come andare avanti, comunque vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto o correzione, va bene anche un consiglio su un procedimento alternativo!

Grazie mille.

Devi spezzare in tre casi: hai non limitatezza in un intorno di \(x=2\) e un intervallo di integrazione illimitato e quindi non rispetti la definizione di integrale improprio se lo spezzi in \(x\in[2,+\infty)\). Definita $f_\alpha:[1,+\infty)\to\mathbb{R}$ ponendo \(f_\alpha(x):=\log(1+1/x^\alpha)/|x-2|^{\alpha+1/3}\), puoi procedere ad esempio così:\[
\int_1^{+\infty} f_\alpha(x)\text{d}x=\int_1^2 f_\alpha(x)\text{d}x+\int_2^3 f_\alpha(x)\text{d}x+\int_3^{+\infty} f_\alpha(x)\text{d}x
\]

questo significa che posso anche non studiare \(\int_1^2\) di quella funzione perchè tanto tra \(2\) e \(+\infty\) diverge?

Sempre per \(\alpha\in\{t \in \mathbb{R} \ | \ \text{l'integrale diverge}\}\), puoi evitare di studiarlo solamente perché la funzione integranda è non negativa per ogni \(x\in([1,+\infty)\), da cui segue per esempio:\[
\int_1^{+\infty} f_\alpha(x)\text{d}x>\int_3^{+\infty} f_\alpha(x)\text{d}x=+\infty
\]In generale non puoi procedere così: se la funzione integranda cambia segno, potrebbe presentarsi una forma indeterminata del tipo \(+\infty-\infty\) e quindi non potresti concludere la divergenza esclusivamente dalla divergenza su un sottoinsieme dell'intervallo di integrazione.

Ora non ho molto tempo, torno dopo per continuare se non ti hanno risposto altri utenti.

Ah, grazie per la correzione, dovevo spezzare in 3 intervalli,
Inoltre posso ragionare sul fatto che \( \displaystyle\int_1^{+\infty} f_\alpha(x)\text{d}x>\int_3^{+\infty} f_\alpha(x)\text{d}x=+\infty \), questo risponde alla mia prima domanda

In generale non puoi procedere così: se la funzione integranda cambia segno, potrebbe presentarsi una forma indeterminata

Non l'avevo scritto ma avevo verificato che la funzione integranda fosse positiva, perchè mi serviva come ipotesi per applicare il teorema sul confronto asintotico, quindi in questi casi vado sul sicuro.
Comunque grazie per la precisazione


Attendo un aiuto per la seconda parte, grazie mille!