Ciao Quasar3.14,
No, ci sono degli errori, mi sa che devi rivedere l'argomento dei radicali...
Se il limite proposto è quello che hai scritto nell'OP si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-n) = \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-\root(3)(n^3))$
Quindi posto $a := \root(3)(n^3+8) $ e $b = \root(3)(n^3) $, sfruttando l'identità $a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $ si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-n) = \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-\root(3)(n^3)) =$
$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{8n^2}{\root(3){(n^3+8)^2} + \root(3)(n^3(n^3 + 8)) + n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{8n^2}{n^2(\root(3){1 + 16/n^3 + 64/n^6} + \root(3)(1 + 8/n^3) + 1)} = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{8}{\root(3){1 + 16/n^3 + 64/n^6} + \root(3)(1 + 8/n^3) + 1} = 8/3 $