Mostrare che $f(z)=1/z$ in $CC$ manda il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ nel cerchio di centro $\bar z_0/(abs(z_0)^2-R^2)$ e raggio $R/(abs(abs(z_0)^2-R^2))$.
Preso $z$ nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ si ha che $abs(z-z_0)=R$, noi vogliamo mostrare che $abs(f(z)-z_0/(abs(z_0)^2-R^2))=R/(abs(abs(z_0)^2-R^2))$
Svillupando il primo membro si ha $abs(1/z-z_0/(abs(z_0)^2-R^2))=1/(abs(abs(z_0)^2-R^2))abs((abs(z_0)^2-R^2-\bar z_0z)/z)$, ora se riuscissi a mostrare che $(abs(z_0)^2-R^2-\bar z_0z)/z=z-z_0$ ho finito, ma non so come sviluppare i calcoli, qualcuno mi sa dire? Grazie