Sì, è il minimo dei maggioranti. Con quella disuguaglianza ho dimostrato che \(2\) è un maggiorante per l'immagine di \(f\), ma questo dimostra solamente che \(f\) è limitata superiormente da \(2\) e quindi che l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) non è \(+\infty\); mancherebbe da dimostrare che \(2\) è il minimo dei maggioranti, ma ciò è falso e quindi risulterebbe un po' difficile dimostrarlo. Quell'argomento era solo per mostrare che l'estremo superiore non è \(+\infty\).
Per il resto, concordo con ghira. Non si capisce che intendi con: "Essendo l'insieme di definizione brutalmente \(+\infty\)", e non si capisce perché questa frase non ha senso matematico. L'insieme di definizione è appunto un insieme, non un punto come lo è in questo caso il simbolo \(+\infty\). Forse, volevi intendere che essendo l'insieme di definizione illimitato e potendo \(x\) e \(y\) diventare arbitrariamente grandi mantenendosi positive allora l'estremo superiore dell'immagine di \(f\) in \((0,+\infty)^2\) è \(+\infty\); ma non possiamo sapere cosa intendevi dire (e comunque, anche se intendevi ciò, è falso: pensa alla funzione \(x \mapsto \sin x\) definita su \(\mathbb{R}\)).
Insomma, devi essere estremamente precis* quando ti esprimi in un problema di matematica: anche le tecniche che vuoi usare devono essere supportate da teoremi dimostrati. Altrimenti, non svilupperai una conoscenza solida. Sei partit* volendo calcolare un limite, ma cosa ti assicura che tale limite coincida con l'estremo superiore? In certi casi questo è vero (ad esempio, per funzioni di una variabile monotòne crescenti su un intervallo aperto \((a,b)\) e nel limite per \(x \to b^-\)), ma non è vero sempre.
L'idea di dimostrare che esiste il massimo di \(f\) in quell'insieme (e che quindi l'estremo superiore di \(f\) in quell'insieme coincide con il massimo) è buona: per farlo, o procedi con conti (moltiplicatori di Lagrange o altre cose così), oppure usi il suggerimento che ti ho dato prima.