Avete degli esempi di queste funzioni?

E' da un po' che non faccio analisi 2 veramente, e mi è sorto un dubbio sul teorema del differenziale totale (così credo si chiami in italiano), che dice quanto segue:

Sia \(E \subseteq \mathbb{R}^n\), \( f: E \to \mathbb{R} \), e \( \mathbf{a} \in E \). Se esiste \( \delta > 0 \) tale che per ogni derivata parziale \( \frac{ \partial f}{\partial x_k} \) di \(f\) esiste in ogni punto della palla aperta \( B( \mathbf{a}, \delta) \) e \( \frac{ \partial f}{\partial x_k}(x_1,\ldots,x_k) \) è continua in \( \mathbf{a} \), allora \(f\) è differenziabile in \(\mathbf{a}\).

Il che è intuitivo perché è come se chiedessimo che la funzione \(f\) sia \(C^1\) in \( \mathbf{a} \). Però non ho mai visto la definizione di essere \(C^1\) in un solo punto, ma sempre e solo essere \( C^1\) su un aperto, quindi non so quanto senso abbia parlare di \(C^1\) solo in un punto, però penso di sì, nel senso basta dire che in \( \mathbf{a} \) la funzione ammette tutte le derivate parziali e sono continue in \( \mathbf{a}\). Ora questo teorema ci dice che non è necessario chiedere che la funzione sia \(C^1\) in un piccolo aperto attorno \( \mathbf{a}\) ma è sufficiente che le derivate parziali esistano soltanto in un intorno di \( \mathbf{a}\). Mi chiedevo se potessero arrivare i seguenti scenari

1) Una funzione \(C^1\) solo in un punto \( \mathbf{a}\), e differenziabile ma non \(C^1\) in tutte le palle centrate in \( \mathbf{a}\).
2) Una funzione tale che tutte le derivate parziali esistono in \( \mathbf{a}\) e sono continue, ma non differenziabile in \( \mathbf{a} \) poiché non esiste una palla \( B(\mathbf{a},\delta) \) tale che le derivate parziali esistono tutte in \( B(\mathbf{a},\delta) \)

Forse qui c'e' qualche idea:
https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

Guarda questo esempio per avere qualche idea (scusate l'immagine, non posso ora copiare, poi la copio), una funzione differenziabile in un solo punto, l'origine, ma pessima altrove.
È tratta da queste dispense, sta a pag. 10.
https://www1.mat.uniroma1.it/people/pon ... %202-3.pdf



Poiché una qualunque funzione $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}$ tale che $|f(x,y)|\leq x^2+y^2$ per ogni $x,y$ è differenziabile nell'origine, penso cha da qui si possono costruire esempi come quello che richiedi nel punto 1.

Il punto 2 non so, se ho capito bene che dici, perché l'esistenza della palla in cui esistono le derivate parziali non è necessaria per la differenziabilità in a.

Per quanto riguarda 1), non esistono funzioni $C^1$ in un punto. "Essere $C^1$" non è una proprietà puntuale.
Esistono funzioni con derivate continue solo in un punto.

Grazie gugo! Sospettavo un pochino questa cosa!

Gabriella, vero che non è necessario, ma intendevo dire, se è possibile uno scenario in cui c'è una funzione non differenziabile in un punto ma con derivate parziali continue in quel punto. Ma dalla risposta di gugo sospetto non sia possibile

Non esistono, è il teorema del differenziale totale.

Credo che 3m0o intendesse che la funzione ha derivate parziali continue solo in quel punto e non in tutta la palla intorno al punto, come dice il teorema del differenziale totale.
Però lo dirà meglio3m0o, il migliore interprete di sé stesso

In realtà l'essere $C^1$ intorno ad un punto $bar(x)$ è una condizione sufficiente abbastanza forte per la differenziabilità in quel punto.
Questa condizione può essere resa un po' più debole. Si dimostra che, affinché una funzione sia differenziabile in un punto $bar(x)$, è sufficiente che una delle derivate parziali (non importa quale) esista nel punto $bar(x)$ e che tutte le altre derivate parziali esistano in un intorno $U$ di $bar(x)$ e siano continue in $bar(x)$.
La dimostrazione mi pare usi un po' di teorema di Lagrange ed altri fattarielli banali... Ma sono passati più di 20 anni da quando l'ho vista in Analisi II, quindi dovrei ricostruirla.