Esercizi serie numeriche(criterio radice e criterio del rapporto)
Inviato: 10/04/2024, 22:12
Ciao a tutti,
continuo le mie esercitazioni con le serie. Potreste darmi un parere?
$\sum_{n=2}^{+\infty} 3^n-((n-2)/n)^(n^2)$
La serie è a termini positivi.
Utilizzo il criterio della radice.
$\lim_{n \to \infty}root(n)(3^n-((n-2)/n)^(n^2))$
$\lim_{n \to \infty} 3-((n-2)/n)^n$
$\lim_{n \to \infty} 3-(1-2/n)^n = 3 - 1/e^2 > 1$
Se non ho commesso errori la serie diverge. Il dubbio principale è se ho semplificato bene con la radice l'esponente $n^2$
Seconda serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n)))$
Serie a termini positivi.
La riscrivo in questo modo.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*4^n)))$
Cerco di stabilirne il carattere con il criterio del rapporto $\lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n$
Ottengo quindi
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n*5)/((n+1)^5*4^n*4)*((n^5*4^n)/5^n)$
Svolgo le semplificazioni
$\sum_{n=1}^{+\infty} 5/4 * (n/(n+1))^5$ Da qui in poi ho difficoltà proseguire. Suggerimenti?
Terza serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n)$
Serie positiva.
Utilizzo il criterio del rapporto $\lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n$
$\lim_{n \to \infty} 1/(3^n * 3 - n+1)*3^n - n$
Se non commetto errori con le semplificazioni, ottengo $1/4$ e poichè $1/4<1$ la serie converge.
Quarto e quinto esercizio
Posto insieme gli ultimi due esercizi perchè penso che entrambi mi stanno traendo in inganno. Il primo è
$\sum_{n=1}^{+\infty} n^2/n$ Semplifico denominatore e numeratore e ottengo $\sum_{n=1}^{+\infty} n$
Avendo una somma del genere posso trarre subito la conclusione che diverge senza utilizzare nessun criterio?
Il quinto esercizio invece è il seguente $\sum_{n=2}^{+\infty} 1/(sqrtnlnn^3)$
In questo caso non si tratta della serie armonica generalizzata con logaritmo in quanto la posso scrivere $\sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^(1/2) * lnn^3)$ ed essendo $1/2<1$ la serie diverge positivamente. È corretto?
Grazie!
continuo le mie esercitazioni con le serie. Potreste darmi un parere?
$\sum_{n=2}^{+\infty} 3^n-((n-2)/n)^(n^2)$
La serie è a termini positivi.
Utilizzo il criterio della radice.
$\lim_{n \to \infty}root(n)(3^n-((n-2)/n)^(n^2))$
$\lim_{n \to \infty} 3-((n-2)/n)^n$
$\lim_{n \to \infty} 3-(1-2/n)^n = 3 - 1/e^2 > 1$
Se non ho commesso errori la serie diverge. Il dubbio principale è se ho semplificato bene con la radice l'esponente $n^2$
Seconda serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n)))$
Serie a termini positivi.
La riscrivo in questo modo.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*4^n)))$
Cerco di stabilirne il carattere con il criterio del rapporto $\lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n$
Ottengo quindi
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n*5)/((n+1)^5*4^n*4)*((n^5*4^n)/5^n)$
Svolgo le semplificazioni
$\sum_{n=1}^{+\infty} 5/4 * (n/(n+1))^5$ Da qui in poi ho difficoltà proseguire. Suggerimenti?
Terza serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n)$
Serie positiva.
Utilizzo il criterio del rapporto $\lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n$
$\lim_{n \to \infty} 1/(3^n * 3 - n+1)*3^n - n$
Se non commetto errori con le semplificazioni, ottengo $1/4$ e poichè $1/4<1$ la serie converge.
Quarto e quinto esercizio
Posto insieme gli ultimi due esercizi perchè penso che entrambi mi stanno traendo in inganno. Il primo è
$\sum_{n=1}^{+\infty} n^2/n$ Semplifico denominatore e numeratore e ottengo $\sum_{n=1}^{+\infty} n$
Avendo una somma del genere posso trarre subito la conclusione che diverge senza utilizzare nessun criterio?
Il quinto esercizio invece è il seguente $\sum_{n=2}^{+\infty} 1/(sqrtnlnn^3)$
In questo caso non si tratta della serie armonica generalizzata con logaritmo in quanto la posso scrivere $\sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n^(1/2) * lnn^3)$ ed essendo $1/2<1$ la serie diverge positivamente. È corretto?
Grazie!