10/04/2024, 22:12
11/04/2024, 09:02
Quasar3.14 ha scritto:Se non ho commesso errori la serie diverge.
Quasar3.14 ha scritto:Seconda serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n))) $
Quasar3.14 ha scritto:Terza serie
$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n) $
mentre l'espressione corretta è $ \lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/a_n $, ma la conclusione è corretta: questa terza serie è convergente. In particolare $\forall n \ge 1 $ si ha $3^n - n \ge 2^n $, sicché si ha:Quasar3.14 ha scritto:$ \lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n $
Quasar3.14 ha scritto:Quarto e quinto esercizio
12/04/2024, 22:28
pilloeffe ha scritto:La serie in effetti diverge, ma di errori ne hai commessi, in particolare quella semplificazione che hai fatto grida vendetta...
Spezzando la serie in due serie, si vede subito che la prima è una serie geometrica di ragione $3 > 1 $ quindi diverge positivamente, la seconda invece converge ad un valore vicino a $0$, quindi nel complesso la serie proposta diverge positivamente.
pilloeffe ha scritto:$\sum_{n=1}^{+\infty} (5^n/(n^5*2^(2n))) $
Posto $a_n := 5^n/(n^5*2^(2n))$, la serie proposta non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi necessariamente diverge positivamente.
pilloeffe ha scritto:
Anche qui vedo degli errori, in particolarementre l'espressione corretta è $ \lim_{n \to +\infty} (a_{n+1})/a_n $, ma la conclusione è corretta: questa terza serie è convergente. In particolare $\forall n \ge 1 $ si ha $3^n - n \ge 2^n $, sicché si ha:Quasar3.14 ha scritto:$ \lim_{n \to \infty} (a_n +1)/a_n $
$ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(3^n - n) \le \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(2^n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (1/2)^n = 1 $
pilloeffe ha scritto:Sì, le due serie proposte divergono positivamente. Per la prima è immediato verificare che non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi necessariamente diverge positivamente.
13/04/2024, 00:27
Quasar3.14 ha scritto:Non ho capito a questo punto però come dimostrare la convergenza della seconda serie visto che la semplificazione è errata.
Quasar3.14 ha scritto:Però per provare il non soddisfacimento della serie devo comunque fare il limite, ma mi trovo comunque a dover applicare il criterio del rapporto
Quasar3.14 ha scritto:Pensi che anche lo svolgimento dell'esercizio sia corretto? Nel senso come sono giunto a $1/4 < 1 $
Quasar3.14 ha scritto:Perchè $3^n−n \ge 2^n $? Cioè come sappiamo che ciò è vero?
Quasar3.14 ha scritto:Per la prima(ossia la quarta) quindi anche la semplificazione che avevo fatto diventa superflua.
Quasar3.14 ha scritto:Calcolando il limite la serie diverge in quanto il numeratore è un infinito di ordine superiore, giusto?
Quasar3.14 ha scritto:La quinta invece pensi che sia corretta?
13/04/2024, 11:53
pilloeffe ha scritto:La semplificazione è errata se pretendi che sia corretto qualcosa del tipo $\root[n]{a^n - b^{n^2}} = a - b^n $, ma non lo è se applichi il Criterio della radice alla seconda serie:
$\lim_{n \to +\infty} \root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} (1 - 2/n)^n = e^{- 2} < 1 $
Pertanto si conclude che la seconda serie è convergente. Dato però che la prima è positivamente divergente, si conclude che tale è anche la serie proposta.
13/04/2024, 12:59
Quasar3.14 ha scritto:Questo penso che valga anche nel caso avessi avuto $ \sum_{n=2}^{+\infty} 3^n*((n-2)/n)^(n^2) $, corretto?
13/04/2024, 18:07
13/04/2024, 20:07
Quasar3.14 ha scritto:Immagino che sia un errore anche particolarmente grave il mio.
13/04/2024, 21:00
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