Forma generalizzata della condizione di Hölder
Inviato: 10/04/2024, 18:38Salve a tutti.
Sul libro di testo dell'università la condizione di Hölder viene riportata come segue.
Sia $f∶(a,b)⟶R$. Sia $α∈(0,1]$. Si dice che $f$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine $α$ se $∃k∈R^+: ∀x,y∈(a,b),|f(x)-f(y)|≤k|x-y|^α$.
Il testo conclude dicendo che è possibile generalizzare tale condizione al caso di spazi metrici non reali e non euclidei.
Ero quindi curioso di capire in che modo si dovrebbe scrivere la definizione generale.
Poiché né su internet né su altri libri riesco a trovare una scrittura generale, io l'ho formulata nel seguente modo:
Siano $(X_1,d_1 )$ e $(X_2,d_2 )$ due spazi metrici, sia $f∶X_1⟶X_2$ e sia $α∈(0,1]$. Si dice che $f$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine $α$ se $∃k∈R^+: ∀x,y∈X_1,d_2 (f(x),f(y))≤k(d_1 (x,y))^α$.
È corretto?
Grazie anticipatamente a chiunque mi voglia rispondere.
Buona serata
Sul libro di testo dell'università la condizione di Hölder viene riportata come segue.
Sia $f∶(a,b)⟶R$. Sia $α∈(0,1]$. Si dice che $f$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine $α$ se $∃k∈R^+: ∀x,y∈(a,b),|f(x)-f(y)|≤k|x-y|^α$.
Il testo conclude dicendo che è possibile generalizzare tale condizione al caso di spazi metrici non reali e non euclidei.
Ero quindi curioso di capire in che modo si dovrebbe scrivere la definizione generale.
Poiché né su internet né su altri libri riesco a trovare una scrittura generale, io l'ho formulata nel seguente modo:
Siano $(X_1,d_1 )$ e $(X_2,d_2 )$ due spazi metrici, sia $f∶X_1⟶X_2$ e sia $α∈(0,1]$. Si dice che $f$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine $α$ se $∃k∈R^+: ∀x,y∈X_1,d_2 (f(x),f(y))≤k(d_1 (x,y))^α$.
È corretto?
Grazie anticipatamente a chiunque mi voglia rispondere.
Buona serata