Dubbio sulla scomposizione in fratti semplici

Salve.
Scrivo per chiarire un dubbio riguardante il seguente integrale:


$\int_{e^2}^{e^3} \frac{\text{d}x}{x(1 - log x)(log x)^2} $



Per cominciare ho effettuato una sostituzione del log(x), dal quale ottengo un integrale razionale valutato nei nuovi estremi di integrazione cioè 3 e 2 rispettivamente.

$\int_2^3 \frac{1}{(1 - t)t^2} \text{d}t $

Tuttavia, arrivato a questo punto non riesco ad andare avanti. In particolare, consultando la soluzione
dell' esercizio, la funzione integranda viene scomposta in 3 fratti semplici:
$ A/(1-t) + B/t + C/t^2 $ mentre io l' avrei scomposta in questo modo $ A/(1-t) + B/t^2 $ escludendo il termine con il coefficiente C, ma applicando il principio di identità dei polinomi questo mi fa ottenere un sistema lineare impossibile.

Inoltre, spesso la scomposizione in fattori semplici mi accorgo di eseguirla a memoria, ma vorrei capire meglio cosa c'è dietro (in riferimento all' algebra lineare), purtroppo su Internet non ho trovato risposte esaustive, pertanto se qualcuno avesse voglia può fornirmi maggiori dettagli a riguardo.

Grazie!

Ultima modifica di Dany 30 il 10/04/2024, 21:00, modificato 2 volte in totale.

Come applicazione semplice del metodo puoi rifarti alla seguente

https://liceocuneo.it/oddenino/wp-conte ... fratte.pdf

Una buona spiegazione in termini più concettuali è in questo post

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ?p=8498679

Infine può essere utile utilizzare le formula (basata sulla teoria dei residui) per i coefficienti che puoi ad esempio trovare applicata qui

https://www.andreaminini.org/matematica ... di-laplace

Ciao Dany 30,

Ti chiederei la cortesia di rimuovere le immagini dal tuo OP, cosa che è vietata dal regolamento in quanto le immagini prima o poi vengono eliminate dai siti di hosting rendendo il post di fatto incomprensibile ai futuri fruitori del forum. Capisco anche che siano i tuoi primi messaggi, per cui ti aiuto io nell'operazione:

$\int_{e^2}^{e^3} \frac{\text{d}x}{x(1 - log x)(log x)^2} $

Codice:

$\int_{e^2}^{e^3} \frac{\text{d}x}{x(1 - log x)(log x)^2} $


Posto $t := log x \implies \text{d}t = \frac{\text{d}x}{x} $, per $x = e^2 \implies t = 2 $ mentre per $x = e^3 \implies t = 3 $, sicché l'integrale proposto diventa il seguente:

$\int_2^3 \frac{1}{(1 - t)t^2} \text{d}t $

Codice:

$\int_2^3 \frac{1}{(1 - t)t^2} \text{d}t $


la funzione integranda viene scomposta in 3 fratti semplici:
$ A/(1−t)+B/t+C/t^2 $

Ti confermo la correttezza di questa scomposizione in fratti semplici.
Procedendo si ha:

$ \frac{1}{(1 - t)t^2} = A/(1−t)+B/t+C/t^2 = \frac{At^2 + Bt(1 - t) + C(1 - t)}{(1 - t)t^2} = \frac{(A - B)t^2 + (B - C)t + C}{(1 - t)t^2} $

Per il principio di identità dei polinomi deve essere:

${(A - B = 0),(B - C = 0),(C = 1):} $

Subito si ottiene $A = B = C = 1 $ e quindi si ha:

$\int_2^3 \frac{1}{(1 - t)t^2} \text{d}t = \int_2^3 (1/(1 - t) + 1/t + 1/t^2) \text{d}t = [- log|1 - t| + log|t| - 1/t]_2^3 = $
$ = - log2 + log3 - 1/3 - log2 + 1/2 = log3 - log4 + 1/6 = 1/6 - log(4/3) $