Derivata direzionale (dubbio teoria)
Inviato: 02/04/2024, 13:36
Ciao, ho un problema nel capire una notazione che usa il prof.
Io ho studiato dal corso di analisi che la derivata direzionale è ad esempio per $f(x,y)$ lungo $vec v=(v_1,v_2)$ versore:
$(partialf(x,y))/(partialvecv)=lim_(t->0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/t$
Bene, detto questo si nota dalla: $f(x_0+h,x_0+k)=f(x_0,y_0)+(partialf)/(partialx)h+(partialf)/(partialy)k+o(sqrt(h^2+k^2))$ che il differenziale altri non è se non $vecnablaf*(h,k)$.
D'altra parte l'ultima considerazione è quella che in effetti si sfrutta quando si dimostra la formula del gradiente: $vec nabla f*vecv=(partialf(x,y))/(partialvecv)$ (avendo cura di riscrivere nella dim. h e k con v1*t e v2*t e dividendo per t e passando al limite), esplicitamente:
$(f(x_0+h,x_0+k)-f(x_0,y_0))/t=(partialf)/(partialx)v_1t/t+(partialf)/(partialy)v_2t/t+o(sqrt(h^2+k^2))$ (1) e poi ne prendo il limite e a sx ho proprio la definizione di derivata direzionale
Detto questo leggo questo testo:
$df_p(v)$ sembra voler dire che fa differenziale $df_p$ scalare $v$, quindi sarebbe una formula del gradiente, quindi mi aspetto che al pari di quanto fatto in (1) ci sia una divisione per t da qualche parte e un relativo limite di $t->0$.
Invece scrive $d/(dt)f$ e questa cosa mi lascia perplesso perché derivare per t non vuol dire dividere per t e fare t->0 nel limite come fatto in (1). Mi sembra quindi come affermare che derivare per t sia il limite di t->0
Rimango confuso su questa cosa.
Io ho studiato dal corso di analisi che la derivata direzionale è ad esempio per $f(x,y)$ lungo $vec v=(v_1,v_2)$ versore:
$(partialf(x,y))/(partialvecv)=lim_(t->0) (f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y))/t$
Bene, detto questo si nota dalla: $f(x_0+h,x_0+k)=f(x_0,y_0)+(partialf)/(partialx)h+(partialf)/(partialy)k+o(sqrt(h^2+k^2))$ che il differenziale altri non è se non $vecnablaf*(h,k)$.
D'altra parte l'ultima considerazione è quella che in effetti si sfrutta quando si dimostra la formula del gradiente: $vec nabla f*vecv=(partialf(x,y))/(partialvecv)$ (avendo cura di riscrivere nella dim. h e k con v1*t e v2*t e dividendo per t e passando al limite), esplicitamente:
$(f(x_0+h,x_0+k)-f(x_0,y_0))/t=(partialf)/(partialx)v_1t/t+(partialf)/(partialy)v_2t/t+o(sqrt(h^2+k^2))$ (1) e poi ne prendo il limite e a sx ho proprio la definizione di derivata direzionale
Detto questo leggo questo testo:
Quando scrive:andiamo a denotare $df_p$ il differenziale di f nel punto p. Specificamente, dfp(v) è la derivata direzionale di f nel punto p con direzione v, ossia $df_p(v) = d/(dt) f (p + tv)|_(t=0)$
$df_p(v)$ sembra voler dire che fa differenziale $df_p$ scalare $v$, quindi sarebbe una formula del gradiente, quindi mi aspetto che al pari di quanto fatto in (1) ci sia una divisione per t da qualche parte e un relativo limite di $t->0$.
Invece scrive $d/(dt)f$ e questa cosa mi lascia perplesso perché derivare per t non vuol dire dividere per t e fare t->0 nel limite come fatto in (1). Mi sembra quindi come affermare che derivare per t sia il limite di t->0
Rimango confuso su questa cosa.