01/04/2024, 18:33
01/04/2024, 18:46
limitato ha scritto:Mi chiedevo cosa succederebbe se nella definizione di limite scrivessi $ |f(x)-c|<=epsilon $ anziché il minore stretto.
Inoltre nel caso della definizione di continuità nel punto x0, anche qui c'è minore stretto, e perché non $ |f(x)-f(x_0)|<=epsilon $
Mi sapreste aiutare su questi due punti?
01/04/2024, 19:51
01/04/2024, 21:41
01/04/2024, 23:59
02/04/2024, 01:33
02/04/2024, 10:19
Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "a≤b e b<c implica a<c".
Non lo so . Nel senso che non avrei risposto così.Per quanto riguarda il resto, se mettessi ε≥0 le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?
02/04/2024, 23:37
limitato ha scritto:Scusa, ma non vedo tutto sto problema... Quella che stai descrivendo è la dimostrazione del fatto che "a≤b e b<c implica a<c".
Sì, certo. Volevo solo capire se spiegata in quel modo potesse comunque valere. Perché non mi sembrava di compiere errori nella logica del discorso. Era solo una curiosità aggiuntiva per formalizzare il pensiero.
Alla fine $a<=b$ vuol dire $a<b$ o $a=b$, se io dimostro che $a=b$ non si verifica mai (unito al fatto che vale appunto $a<b$ o $a=b$) se ne deduce che $a<b$. Mi sembrava filare, sbaglio così tanto? Non ho ben capito se dicevi che va bene o meno
limitato ha scritto:Non lo so . Nel senso che non avrei risposto così.Per quanto riguarda il resto, se mettessi ε≥0 le uniche funzioni ad avere limite (ed essere continue) sarebbero le applicazioni costanti. Perché?
In questo caso (del per ogni $epsilon>=0$) mi sembrava che le due definizioni che si erano dimostrare uguali, ossia quella che usava $|f(x)−c|≤ε$ e quella che usava $|f(x)−c|<ε$ non sono più per nulla interscambiabili.
avrei infatti:
- per il primo dei due, che dovendo valere la definizione di limite: per ogni $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc. tale per cui: $|f(x)−c|≤0$. ora: un valore assoluto non è mai minore di zero, quindi $|f(x)−c|=0$ e quindi f(x)=c in quel punto.
Però non capisco perché debba essere costante, dato che questa definizione di limite potrebbe, preso un secondo punto, portarci a $|f(x)−b|=0$ => f(x)=b in questo secondo punto.
- per il secondo caso $epsilon>=0$, allora vale nello specifico anche per $epsilon=0$, per esso trovo il delta ecc ecc tale per cui: $|f(x)−c|<0$. Falso! Questa definizione non va mai bene. Nessuna funzione ammetterebbe limite.
Perché non va bene?
03/04/2024, 19:57
Ah okok, chiarissimo. In realtà non mi era stato mostrato nulla del genere e sono in un periodo in cui voglio cercare di dimostrare tutto dal principio e quindi me l'ero auto-dedotta solo ora. Non che fosse una grande scoperta , però avendo avuto quella intuizione volevo chiedere se fosse per lo meno intelligente.Va bene, ma non serve, perché di solito è una cosa che si dimostra per esercizio quando si introducono gli assiomi d'ordine del campo reale; quindi più avanti la si dà per assodata, non è che si torna a dimostrarala ogni volta che ce la si trova tra i piedi.
perfetto ora ho capito. Pensavo intendessi le costanti su tutto $RR$ e non mi ci ritrovavo. Invece ovviamente mi suggerivi una costanza nell'intorno delle $x_0$ in cui ho trovato il raggio $delta$ utile allo scopo. Ok, mi pare di esserci ora perché hai scritto in modo ordinato quello che dicevo io, e il punto che mi era inizialmente sfuggito.gugo82 ha scritto:In questo caso, le uniche funzioni a soddisfare la definizione di limite $lim_(x->x_0) f(x) = c$ sarebbero quelle definitivamente costanti intorno ad $x_0$: infatti, scrivendo la definizione per $epsilon = 0$ troveresti che esiste un $delta > 0$ tale che:
$AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\},\ |f(x) - c| <= 0$
da cui si deduce che $f$ è costante (ed identicamente uguale a $c$) nella parte del dominio $]x_0 - delta, x_0 + delta[ nn X \setminus \{ x_0\}$.
03/04/2024, 21:04
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