Differenziabilità nel punto

[lackyluk]

Buongiorno.

Ho la funzione $f(x,y) = x/(x^2+y^2)$ e ne devo valutare la differenziabilità in (0,0).

La domanda è,

la questione si chiude subito giusto, dato la funzione non essere nemmeno definita in (0,0). Quindi cercare una derivata parziale in (0,0), condizione necessaria alla differenziabilità, non è possibile.

$ (partial f)/(partial x) = lim_(x -> 0) (x/x^2 - 0/0)1/x = lim_(x -> 0) (1/x - 0/0)1/x$ ...stop, perchè non ho modo di eliminare lo $0/0$.

Sbaglio?
Vanno aggiunte ulteriori considerazioni?

Inoltre chiedo, in generale, ci sono casi in cui una funzione non definita in un punto ha bisogno di ulteriori analisi prima di concludere sulla sua differenziabilità in quel punto?
Potete farmi un esempio nel caso?

Grazie

[gugo82]

Se l'esercizio è scritto così, direi che va bene.

Prova lo stesso esercizio con la funzione:

$f(x,y) := \{(x/(x^2 + y^2), ", se " x != 0 vv y != 0), (0, ", se " x = 0 ^^ y = 0):}$...

Almeno è un po' (poco) più significativo.

[lackyluk]

Grazie mille @gugo82 per la risposta.

Applicando la definizione credo avremmo un $1/x^2$ per $x -> 0$, ovvero la derivata tenderebbe ad $ oo $ , ovvero non esisterebbe?

Ma se ragionassi così invece:
Osservo la funzione e vedo che appena sulla destra da zero, spostandomi sull'asse delle ascisse, la funzione assume un valore altissimo.
Assumo allora che in quel punto la funzione ha un valore infinito ma "stabile" e scrivo:

$ lim_(x -> 0) (1/x - oo )1/x$

osservando che quell' $1/x$ raggiungerebbe però presto il valore infinito e continuerebbe a "diventarlo sempre di più" fino al punto da poter scrivere

$ (oo - 0)oo$ = $oo$

Ha senso?
Ho visto qualcosa sugli ordini di infinito che dunque a volte si possono paragonare ma non sono sicuro sia questo il modo.

[lackyluk]

Buongiorno.

Nessuno ha poi più risposto quindi ci riprovo aggiungendo che, dopo essermisi ripresentato il problema, ho ulteriormente riflettuto che, nel momento in cui dico "spostandomi appena a destra" in realtà non sto più analizzando in (0,0) e continuo a non sapere cosa avviene in (0,0).

D'altronde per i limiti, non sono mai interessato a sapere cosa avviene nel punto esatto ma proprio in un intorno.

Quindi torno e riprovo a chiedere se ha senso il ragionamento fatto nel messaggio appena sopra che mi porta a concludere $oo$ o altrimenti in cosa è fallace.

Grazie.

[gugo82]

$oo$ non è un valore.

[lackyluk]

Io infatti ho scritto "un valore altissimo, ma stabile" che poi rappresento con il simbolo infinito.

Il senso è che confronto un valore spropositamene alto, con uno che però sicuramente lo supera da un certo momento in poi, fino ad arrivare che è lui stesso talmente maggiore da potersi considerare infinito - 0.

Comunque grazie per la risposta.

[Lebesgue]

In generale, per esercizi di questo tipo conviene ragionare così:
la funzione è continua nel punto? No, allora a maggior ragione non è ivi differenziabile.
Infatti se una funzione è differenziabile in un punto, allora lì deve essere in particolare continua.

Se invece è continua, allora provo a vedere cosa succede alle derivate parziali (ricordiamo anche che per il teorema del differenziale totale, se una funzione è continua in un punto e in un intorno di tale punto le derivate parziali esistono e sono continue, allora la funzione è differenziabile in quel punto).
In alternativa, dopo averne appurato la continuità, si prova ad usare la definizione di differenziabilità:
una funzione $f$ è differenziabile in un punto $(x_0,y_0)$ se vale:

$ f(x,y) = f(x_0,y_0) + (\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0) \cdot (x - x_0) + (\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)\cdot (y-y_0) + o(\sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)) $

Ovvero, brutalmente, posso scrivere il suo sviluppo di Taylor al prim'ordine.

Dunque, usando la definizione, bisogna controllare che il

$\lim_((x,y) \to (x_0,y_0)) ( f(x,y) - f(x_0,y_0) -(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0) \cdot (x - x_0) - (\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0) \cdot (y - y_0) ) / (\sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)) = 0 $

Nella funzione che hai presentato tu, ovvero:
$f(x,y) = x/(x^2+y^2)$
Basta controllare cosa succede nell'origine, e si vede subito che salta la continuità, ad esempio perché
$f(0,y) = 0$, mentre $f(x,0) = 1/x$ che tende a $\pm \infty$ per $x \to 0^\pm$, dunque non essendo continua nell'origine, non è neanche differenziabile.