27/03/2024, 15:23
28/03/2024, 18:00
Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]
Se \(I \neq \varnothing\), posto \(a=\inf I\) e \(b=\sup I\), l'intervallo di estremi \(a\) e $b$ lo denoto con \((a,b)\).
Se \(a,b \notin I\) dico che $I$ è un intervallo aperto e lo denoto con il simbolo $]a,b[$, quindi:
\[
]a,b[ := \Big\{ x \in \mathbb{R}:\ a<x<b\Big\}\; .
\]
Dico che $I$ è chiuso a sinistra se \(a \in I\), chiuso a destra se \(b \in I\), chiuso se è chiuso a destra ed a sinistra; un intervallo chiuso lo denoto col simbolo $[a,b]$, sicché:
\[
[a,b] := \Big\{ x \in \mathbb{R}:\ a\leq x \leq b\Big\}\; .
\]
Se $I$ non è né aperto né chiuso, dico che esso è semiaperto; a seconda dei casi, e con ovvio significato dei simboli, può essere un insieme del tipo $[a,b[$ oppure $]a,b]$.
Se \(a\leq b\) ed \(a, b \in \mathbb{R}\), dico che l'intervallo $I$ è limitato; altrimenti, dico che $I$ è illimitato (illimitato a sinistra se \(a =-\infty\); illimitato a destra se \(b = +\infty\)).
Si chiama intervallo simmetrico di centro $p in RR$ e semiampiezza $r >= 0$ un insieme del tipo:
\[
B_r(p) := \Big\{ x \in \mathbb{R}:\ |x - p| < r\Big\} = ]p-r,p+r[
\]
Scelti un insieme $X sube RR$ ed un punto $x in RR$, dico che:
- $x$ è un punto interno ad $X$ se esiste un intervallo simmetrico non vuoto con centro in $x$ contenuto completamente in $X$, cioè se:
\[
\exists r > 0:\quad B_r(x) \subseteq X\; ;
\]- $x$ è un punto esterno ad $X$ se esiste un intervallo simmetrico non vuoto con centro in $x$ contenuto completamente nel complementare di $X$, cioè se:
\[
\exists r > 0:\quad B_r(x) \subseteq \mathbb{R}\setminus X \quad \text{(cioè } B_r(x)\cap X = \varnothing \text{)}\; ;
\]- $x$ è un punto di frontiera per $X$ se esso non è né interno né esterno, ossia se ogni intervallo simmetrico non vuoto con centro in $x$ contiene sia punti di $X$ sia punti di $RR \setminus X$.
Dico che un sottoinsieme $X sube RR$ è un insieme aperto se e solo se ogni suo punto è un punto interno, cioè se:
\[
\forall x \in X,\ \exists r>0:\quad B_r(x) \subseteq X\; .
\]
Dico che un sottoinsieme $X sube RR$ è un insieme chiuso se e solo se il suo complementare $RR\setminus X$ è un insieme aperto.
Ogni intervallo aperto è un insieme aperto.
In particolare, ogni intervallo simmetrico aperto è un insieme aperto.
Ogni intervallo chiuso è un insieme chiuso.
Inoltre, anche \(\varnothing\) ed $RR$ sono chiusi; e sono gli unici due sottoinsiemi di $RR$ ad essere contemporaneamente aperti e chiusi.
Un sottoinsieme $Xsube RR$ è aperto se e solo se esso è unione di intervalli aperti simmetrici con centri in punti di $X$.
Scelto un punto $x\in RR$, dico che un sottoinsieme $X sube RR$ è un intorno aperto di $x$ se $X$ è aperto ed $x$ è un punto di $X$.
31/03/2024, 11:42
battuta di fino .gugo82 ha scritto:Uh, che palle...
Il mio primo dubbio nasce da alcuni testi dove si legge che l'intorno è un intervallo aperto. Mentre a me pare da quanto suddetto che sia un po' tautologico come ragionamento, perché così facendo io definisco l'intorno partendo dal concetto di intervallo aperto che discende dalla palla aperta stessa.
il discorso è quindi che il disco è INSIEME aperto di R2 ma non di R3. direi che è corretto. giusto?quando prendo il disco senza bordo in R2 siamo d'accordo che ho una palla aperta di R2 (ma palla aperta $!=$ da insieme aperto, sia chiaro), la quale come dicevi gode anche della proprietà di essere un INSIEME aperto - e questo mi interessa - (concetto differente, cioè un insieme contenente per ogni punto almeno una sua palla aperta) e questo stesso insieme/disco non è invece INSIEME aperto in R3
mi verrebbe da dire $]0,3[$ unito $]4,7[$ è intorno aperto di ogni suo punto (unione di aperti => è un aperto), però mica è un intervallo. No?perché esistono degli intorni che non sono intervalli (prova a fare un esempio)
31/03/2024, 12:13
Mi lascia perplesso una considerazione "filosofica", provo a spiegarla: io parto dicendo che ho un insieme I, e ovviamente dato un insieme in R posso definire gli estremi superiori e inferiori; solo a posteriori dico che I è l'insieme delle x per cui vale: infI<x<supI => x∈I, domanda: ma se io ho definito supI e infI non dovevo già avere l'insieme I? Quindi come posso dire dopo che I è definito da una condizione che ho già trovato conoscendo I stesso?Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]
01/04/2024, 13:56
gandolfo_m ha scritto:Scusate se mi intrometto ma trovo la discussione molto ordinata, tipica delle ottime spiegazioni di gugo82, sempre precise da libro di testo, e vorrei poter fare una domanda.Mi lascia perplesso una considerazione "filosofica", provo a spiegarla: io parto dicendo che ho un insieme I, e ovviamente dato un insieme in R posso definire gli estremi superiori e inferiori; solo a posteriori dico che I è l'insieme delle x per cui vale: infI<x<supI => x∈I, domanda: ma se io ho definito supI e infI non dovevo già avere l'insieme I? Quindi come posso dire dopo che I è definito da una condizione che ho già trovato conoscendo I stesso?Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]
In poche parole non capisco come definire un insieme, tramite proprietà dell'insieme, se quella proprietà (sup e inf) si basa già sulla conoscenza dell'insieme stesso. Non cado in un loop? Infatti se non conoscessi I non potrei trovare sup e inf.
01/04/2024, 13:57
Si prova che:
- la funzione definita ponendo:
\[
\begin{split}
|\cdot |: \mathbb{R}^N &\to \mathbb{R} \\
x=(x_1, \ldots , x_N) &\mapsto |x| := \sqrt{x_1^2 +\cdots x_N^2}
\end{split}
\]
è una norma1 su $RR^N$ e la chiamo norma euclidea su $RR^N$.
Per fissato $x in RR^N$, il numero non negativo $|x|$ si chiama norma (oppure modulo) di $x$.
- la funzione definita ponendo:
\[
\begin{split}
d: \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N &\to \mathbb{R} \\
(x,y) &\mapsto d(x,y) := |x - y|
\end{split}
\]
è una metrica2 (indotta da una norma3) su $RR^N$ e la chiamo metrica euclidea su $RR^N$.
Per fissati $x,y in RR^N$, il numero $d(x,y)$ lo chiamo distanza euclidea tra $x$ ed $y$.
Scelti un punto $p in RR^N$ ed un numero reale $r >= 0$, chiamo palla aperta di centro $p$ e raggio $r$ il sottoinsieme di $RR^N$ definito ponendo:
\[
B_r(p) := \Big\{ x \in \mathbb{R}^N:\quad d(x,p) < r\Big\}.
\]
Chiamo intervallo aperto di $RR^N$ il prodotto cartesiano di $N$ intervalli4 aperti $I_1,..., I_N sube RR$, cioè un insieme del tipo:
\[
I = I_1\times \cdots \times I_N = ]a_1,b_1[ \times \cdots \times ]a_N,b_N[\; .
\]
Dico che $I$ è limitato quando tutti gli intervalli $I_n$ (con $n=1,...,N$) sono limitati; altrimenti $I$ è illimitato.
Siano $X sube RR^N$ ed $x in RR^N$.
Dico che:
- $x$ è un punto interno ad $X$ se esiste una palla aperta $B_r(x)$ non vuota contenuta completamente in $X$;
- $x$ è un punto esterno ad $X$ se esiste una palla aperta $B_r(x)$ non vuota contenuta completamente in $RR^N \setminus X$;
- $x$ è un punto di frontiera per $X$ se nessuna palla aperta $B_r(x)$ non vuota è contenuta completamente in $X$ o in $RR^N \setminus X$.
Chiamo (sotto)insieme aperto di $RR^N$ un qualsiasi sottoinsieme $X sube RR^N$ tale che ogni punto $x in X$ è un punto interno ad $X$, cioè tale che:
\[
\forall x \in X,\ \exists r > 0:\quad B_r(x) \subseteq X\; .
\]
Ogni palla aperta ed ogni intervallo aperto di $RR^N$ sono insiemi aperti.
Un sottoinsieme $X sube RR^N$ è aperto se e solo se è unione di palle aperte con centro nei suoi punti.
Dentro ogni intervallo aperto limitato non vuoto è possibile inscrivere una palla aperta ed in ogni palla aperta non vuota è possibile inscrivere un intervallo aperto limitato, nel senso che:
\[
\begin{split}
\forall I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}, &\exists p \in I, \exists r > 0:\quad B_r(p) \subset I \; ,\\
\forall p \in \mathbb{R}^N, \forall r> 0, &\exists I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}:\quad I\subset B_r(p)\; .
\end{split}
\]
Un sottoinsieme $X sube RR^N$ è aperto se e solo se è unione di intervalli aperti limitati contenenti i suoi punti.
01/04/2024, 14:07
01/04/2024, 16:49
E' proprio come dici, senza "probabilmente": non mi è chiaro.gugo82 ha scritto:La considerazione "filosofica" mostra che, probabilmente, non hai ben chiaro come si usa dare le definizioni in Matematica specialmente nel caso di definizioni che si applicano a classi di oggetti (e non ad un singolo oggetto).
La proprietà che citi non definisce l'insieme $I$, ma serve ad individuare (e quindi a dare un nome ad) una certa famiglia d'insiemi.
01/04/2024, 18:12
Dentro ogni intervallo aperto limitato non vuoto è possibile inscrivere una palla aperta ed in ogni palla aperta non vuota è possibile inscrivere un intervallo aperto limitato, nel senso che:
\[
\begin{split}
\forall I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}, &\exists p \in I, \exists r > 0:\quad B_r(p) \subset I \; ,\\
\forall p \in \mathbb{R}^N, \forall r> 0, &\exists I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}:\quad I\subset B_r(p)\; .
\end{split}
\]
01/04/2024, 18:54
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