Salve a tutti, sto studiando la condizione di Cauchy in merito alle successioni.
Mi pare di aver capito che in uno spazio metrico reale dotato della metrica euclidea affermare che una successione converge equivale ad affermare che essa soddisfa la condizione di Cauchy.
Di conseguenza, una successione irregolare o divergente, sempre nello spazio metrico reale euclideo, non soddisfa la condizione di Cauchy.
Se considero uno spazio metrico dotato di una metrica non euclidea, come ad esempio la seguente: $d(a,b)=|1/a-1/b|$, posso affermare che la successione $x_n=n$ soddisfa Cauchy, ma non è convergente, anzi è divergente.
Mi chiedevo quindi se è possibile identificare una successione in uno spazio metrico NON euclideo che NON soddisfi la condizione di Cauchy.
Chiedo a voi di farmi un esempio con una metrica a vostro piacimento: io sto avendo difficoltà ad individuarla andando per tentativi.
Grazie mille per l’eventuale risposta.