l'integrale generale di un equazione differenziale in più variabili

Trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale in più variabili:

$\{(\ddot x-2 \omega_0 \dot y=0),(\ddoty+2 \omega_0 \dot x=0):}$

dove $\omega_0$ è una costante.

Dalla prima equazione mi sono ricavato che $\dot y= (\ddot x)/(2 \omega_0)$ da cui $\ddot y= (x^((3)))/(2 \omega_0)$ e quidni sostituendo alla seconda equazione ottengo $(x^((3)))/(2 \omega_0)+2 \omega_0 \dot x=0$, ora per risolvere quest'ultima equazione differenziale di terzo ordine devo procedere come nel caso di equazioni differenziali di secondo ordine, quindi considerando l equazione caratteristica e cosi via? Oppure integro rispetto a $t$ (infatti $x=x(t)$) l'equazione in modo tale che mi esce $(\ddot x)/(2 \omega_0)+2 \omega_0 x=c$ che è un equazione differenziale di secondo grado (con $c$ una costante)?

Ciao andreadel1988,

Io deriverei la prima equazione, poi moltiplicherei la seconda per $2\omega_0 $ ed infine sommerei le due equazioni, ottenendo l'equazione differenziale seguente:

$ x'''(t) + 4\omega_0^2 x'(t) = 0 $

Poi porrei $x'(t) := z(t) $ in modo da ricondurmi alla ben nota equazione differenziale del secondo ordine seguente:

$ z''(t) + 4\omega_0^2 z(t) = 0 $

la cui soluzione è la seguente:

$z(t) = c_1 cos(2\omega_0 t) + c_2 sin(2\omega_0 t) $

Integrandola si trova $x(t) $:

$x(t) = (c_1 sin(2\omega_0 t))/(2\omega_0) - (c_2 cos(2\omega_0 t))/(2\omega_0) + c_3 $

Poi dato che dalla prima equazione si trova $ y'(t) = (x''(t))/(2 \omega_0) = (z'(t))/(2 \omega_0)$, per trovare $y'(t) $ basta derivare $z(t) $ e dividerla per $2\omega_0 $, ottenendo se non erro:

$y'(t) = c_2 cos(2\omega_0 t) - c_1 sin(2 \omega_0 t) $

che integrata porge

$y(t) = (c_2 sin(2\omega_0 t))/(2\omega_0) + (c_1 cos(2\omega_0 t))/(2\omega_0) + c_4 $

Perfetto, grazie mille.