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Sia $omega=e^x(cos(x+y)+sen(x+y))dx+e^x(cos(x+y))dy$ e sia $gamma_n$ la famiglia di curve di parametrizzazione $(cos(nt),sen(nt)), t in [0,pi]$.
Come si calcola $int_(gamma_n)omega$? Procedere normalmente porta ad un integrale che a me pare inaffrontabile, perciò va applicato qualche risultato teorico o cosa mi sfugge?

Se da un lato il calcolo diretto di quell'integrale curvilineo è proibitivo, dall'altro
la determinazione di una primitiva di \(\omega\) è elementare, quindi a quel punto...

giusto!! mi era sfuggito che $omega$ è esatta, facendo male i calcoli avevo visto che non lo era... quindi a quel punto se U è una primitiva, l'integrale vale $U(gamma_n(pi))-U(gamma_n(0))$ no? per cui siccome a me il potenziale viene $U(x,y)=e^x cos(x+y) +c$ ottengo risultati distinti a seconda che n sia pari o dispari (?)

grazie mille!

Sì, il procedimento è quello, anche il dover distinguere tra pari e dispari (a patto che sia \(n\in\mathbb{Z}\)), ma
rivedi i conti, perché quella non è una primitiva, in quanto se ne calcoli il differenziale non ottieni \(\omega\).

Infatti. $n in ZZ$ e rivedendo con calma ho trovato $U(x,y)=e^x sen(x+y)+c$ (che dovrebbe tornare...). Se n è pari la curva è chiusa, invece se è dispari l'integrale fa $-sen(1)(1/e+e)$
Grazie ancora

Sì, ora va bene. Prego!