Ciao, ho un dubbio come da titolo per un esempio fatto dal prof.
La situazione è la seguente:
siano le funzioni
$phi(u,v):(u,v)->(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$
e
$p(x,y):(x,y)->(u(x,y),v(x,y))$
dice che componendole trovo: $phi(x, y) = (x, y, z(x, y))$
Le mie domande sono di base, due:
1) mi confonde il seguente ragionamento, io so dalla prima che x dipende da u e v, e y anche, cioe: $ x(u,v),y(u,v)$ quindi potrei scrivere che $p(x(u,v),y(u,v))$, cioè $(x,y)->(u(x(u,v),y(u,v)),z(x(u,v),y(u,v)))$
quindi quando compongo come primo termine (ma per gli altri similmente) mi troverei ad avere $psi=((x(u(x(u,v))),....,...)=(x(u,v),....,...)$ isomma ho di nuovo x(u,v) e quindi comunque una $psi(u,v)$ dato che la dipendenza da u,v c'è per x e y. Quindi cosa ho ricavato? Un bel nulla. [mi sembra un loop]
2) Mettiamo di aver capito il punto 1) e quindi di seguire il ragionamento del prof, la seconda domanda è sul punto in cui ricavo $phi(x, y) = (x, y, z(x, y))$ io di fatto avrei dopo la composizione: $phi(x, y) = (x, y, z(u(x,y),v(x,y)))$.
Analizziamo: $z(u(x,y),v(x,y)))=z(x, y)$, ecco, come faccio a dimostrare che se ho una funzione z che dipende da u(x,y) e v(x,y) separatamente, è uguale a una funzione f(x,y)? Voglio dire: io ho qualcosa (e quel qualcosa sono u e v) che dipendono separatamente nei due "Input" della funzione z sia da x e y: z(u,v); poi mi riduco ad avere una funzione con due input che dipendono solo da x e y: z(x,y). Tuttavia a me sembra di avere z(.,.) con primo ingresso che dipende da x e y assieme e secondo che dipende da x e y dato che u dipende da entrambi così come v.