Condizioni Kuhn-Tucker e domande inerenti

Buonasera a tutti,
Premetto che questo messaggio potrebbe sembrare stupido per come lo formulo ma mi trovo davvero in altissimo mare in merito all'argomento che stiamo trattando, ossia le condizioni di Kuhn Tucker o KKT.

Ho talmente tante domande che non so da dove partire... anzi lo so!
Ho una domanda che verte su una cosa che ha detto oggi il prof a lezione, e che non ho davvero capito. Forse ho scritto male, o sentito male...

Ha detto, parlando delle condizioni KKT, che "il rango della matrice delle derivate parziali è uguale al numero di equazioni dei vincoli". Io non so se ho capito bene (e nel caso, cosa potrebbe aver detto se no?) ma se così fosse allora basterebbe una funzione in tre variabili con 4 vincoli, o 2, per generalmente falsificare la cosa.
Non capisco...

Inoltre ho le seguenti domande, di cui chiedo scusa a priori:

1) Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi in modo dummy a cosa servono le KKT? Cioè perché non posso semplicemente usare i moltiplicatori? Cosa cambia? In che modo sono migliori o servono? VI giuro che ho trovato tante note in inglese, ma non riesco a capirle bene per difetti di lingua. E quelle poche in italiano che ho trovato non rispondono ai miei dubbi.

2) Perché non posso usare Lagrange normalmente anche quando ho vincoli misti, uguaglianza e disuguaglianza?

3) Cosa succede se la matrice Jacobiana dei vincoli non ha rango massimo? Perché ci interessa che abbia rango massimo?


Per ora questo... Vi ringrazio davvero tanto. VI giuro che ho voglia di capire e imparare queste cose, ma tra prof e note fatte male è un ardua sfida...