Esercizio numero complessi

Ciao a tutti,

sto ripassando i numeri complessi e mi sono imbattuto in questo esercizio. Spero che possiate darmi una mano a venirne a capo.

Devo determinare le soluzioni di $8z=i|z|^3 barz$

Ho provato con il metodo della sostituzione ma probabilmente o sbaglio qualcosa o non è il metodo adatto(o forse tutte e due le cose).

$ 8(x+yi) = i(x^3+y^3)(x-yi)$

Da qui mi trovo

$ 8x +8yi = (x^3i + y^3i)(x-yi)$

Continuo con i calcoli

$ 8x + 8yi = x^4i +x^3y + xy^3i+y^4 $

Raccolgo la parte reale e quella immaginaria e ottengo

$ 8x -x^3y -y^4 +i(8y -x^4 -y^3)=0$

Qui non riesco ad andare avanti, anche mettendo a sistema, non "vedo" come potrei semplificare, c'è un altro modo per affrontare la risoluzione della disequazione? Cosa sbaglio?

Grazie

Ciao Quasar3.14,

c'è un altro modo per affrontare la risoluzione della disequazione?

A parte il fatto che è un'equazione, essendoci solo prodotti ti consiglio di gran lunga di usare la forma esponenziale del numero complesso $z = \rho e^{i \theta} $ invece di quella algebrica ($z = x + iy $).

Si vede poi subito che $z = 0 $ è sicuramente una soluzione dell'equazione proposta.

Cosa sbaglio?

$|z|^3 = |x + iy|^3 = (\sqrt{x^2 + y^2})^3 = (x^2 + y^2)^{3/2} $

Comunque ribadisco che ti conviene di gran lunga usare la forma esponenziale per risolvere l'equazione proposta.
Se non ho fatto male i conti dovresti trovare le $3$ soluzioni seguenti:

$z_0 = 0 $

$z_{1, 2} = \pm (1 + i)\sqrt2 $

Ultima modifica di pilloeffe il 13/03/2024, 00:21, modificato 1 volta in totale.

Ciao, grazie per il tuo aiuto.
Studiare sempre di sera mi fa commettere diversi errori di distrazione (disequazione).

Ho provato a svolgere l'esercizio, questa volta utilizzando la forma trigonometrica. Prima però vorrei chiederti, perchè si vede subito che $ z=0$ ?

Inoltre hai scritto che essendoci solo prodotti non conviene utilizzare la forma algebrica, ci sono altri "trucchi" per poter capire subito che metodo utilizzare per la risoluzione di una equazione complessa?

Comunque posto come ho svolto l'esercizio, potresti darmi un tuo parere, per favore?

8p=i|z|^3 bar z

$8[p(cos\theta + isen\theta) = [cos(\pi/2) +isen(\pi/2)]p^3p(cos (-\theta) +isen(\-theta))$

Somma gli argomenti al secondo membro e moltiplico $p$

Ottengo al secondo membro

$p^4 [cos(\pi/2-\theta) +isen(\pi/2-\theta)]$

Metto a sistema modulo e argomento e ottengo

$8p=p^4$ che riscrivo come $p(8-p^3)$ da qui ottengo il primo modulo uguale a zero, quindi $z_1 =0$
Il secondo modulo è $-p^3 = -8$ quindi cambiando i segni $p=2$

Per quanto riguarda i moduli invece ottengo $\theta= \pi/2 -\theta +2k\pi$

Quindi $ 2\theta=\pi/2 + 2k\pi rArr \theta=\pi/4 + k\pi$ con $k=0,1$

Sostituiteno i valori di k ottengo rispettivamente $ \theta_1 = \pi/4 $ e $ \theta_2 = (\5pi)/4 $

Il risultato è quindi errato, dove sbaglio?

Grazie

grazie per il tuo aiuto.

Prego.

perchè si vede subito che $z=0$ ?

Beh, perché se $z = 0 $ anche $\bar z = 0 $ e $|z| = 0 $ e dunque i due membri dell'equazione $ 8z=i|z|^3 \bar z$ sono entrambi nulli e l'equazione è soddisfatta.

ci sono altri "trucchi" per poter capire subito che metodo utilizzare per la risoluzione di una equazione complessa?

Di solito è comodo usare la forma esponenziale quando ci sono dei prodotti, la forma algebrica quando ci sono delle somme algebriche.

Il risultato è quindi errato

Perché?
Con la forma esponenziale è meglio:

$ 8\rho e^{i\theta} = e^{i \pi/2} \rho^4 e^{- i\theta} $

Quindi tolto $\rho = 0 $ che porge $z_0 = 0 $, rimane da risolvere l'equazione seguente:

$8 e^{i 2\theta} = \rho^3 e^{i \pi/2} $

quindi $\rho = 2 $ e $2\theta = \pi/2 + 2k\pi \implies \theta = \pi/4 + k\pi $ ove $k = 0, 1 $.

Per $ k = 0 $ si ottiene $z_1 = 2 e^{i \pi/4} = 2 [cos(\pi/4) + i sin(\pi/4)] = 2[\sqrt2/2 + i \sqrt2/2] = (1 + i)\sqrt2 $
Per $ k = 1 $ si ottiene $z_2 = 2 e^{i 5\pi/4} = 2 [cos(5\pi/4) + i sin(5\pi/4)] = 2[-\sqrt2/2 - i \sqrt2/2] = - (1 + i)\sqrt2 $

Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto. Adesso mi è chiaro.

Continuo la mia esercitazione con i numeri complessi.
Ho svolto il seguente esercizio ma credo che faccio qualche errore di calcolo che non riesco ad inviduare.
Il testo è il seguente

$2iz^2 +3 bar z +5i =0 $

Sostituisco la z con la sua forma algebrica ed ottengo

$2i(x^2 -y^2+2xyi)+3(x-yi)+5i=0$

Svolgo i calcoli e ottengo

$2ix^2 -2iy^2 -4xy +3x -3yi +5i=0$

Raccolgo la parte reale $ -4xy +3x$ e la parte immaginaria $i(2x^2-2y^2-3y+5)$

Metto a sistema ma penso che sbaglio qualcosa

$ x(-4y+3)=0$ Con $x=0$ ottengo l'equazione della parte immaginaria uguale a $-2y^2-3y+5$ ed ottengo come risultato $y=1$ e $y=-5/2$ quindi i numeri complessi $z_1 = i$ e $z_2 = -5/2i$

Ora procedo con $-4y+3=0$ e ottengo $y=+3/4$ Sostituisco la $y$ all'interno dell'equazione della parte immaginaria e ottengo $2x^2-2(3/4)^2 -3(3/4)+5=0$ quindi $x^2=13/8$ quindi $x_1= sqrt(13/8) x_2= - sqrt(13/8)$ Da qui gli altri due numeri complessi $z_3 = sqrt(13/8) + +3/4 i , z_4 = - sqrt(13/8) + +3/4 i $

Pareri?

Grazie

Continuo la mia esercitazione con i numeri complessi.

In generale, meglio aprire un nuovo post per ogni esercizio...

Il testo è il seguente

$2iz^2+3\bar z+5i=0$

Tanto per cominciare mi semplificherei un po' la vita moltiplicando l'equazione per $-i$:

$2z^2 - 3i \bar z + 5 = 0 $

Poi sostituendo $z = x + iy \implies \bar z = x - iy $ si ha:

$2(x^2 - y^2 + 2ixy) - 3i(x - iy) + 5 = 0 $

$2x^2 - 2y^2 + 4ixy - 3ix - 3y + 5 = 0 $

$2x^2 - 2y^2 - 3y + 5 = ix(3 - 4y) $

Ora, siccome il primo membro è reale, tale deve essere anche il secondo, e ciò accade per $x = 0 $ oppure per $y = 3/4 $:
i) per $x = 0 $ si ha l'equazione $- 2y^2 - 3y + 5 = 0 \implies 2y^2 + 3y - 5 = 0 $ che porge le due soluzioni reali $y_1 = 1 \implies z_1 = x_1 + iy_1 = i $ e $ y_2 = - 5/2 \implies z_2 = x_2 + iy_2 = - 5/2 i $;
ii) per $y = 3/4 $ si ha l'equazione $2x^2 - 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 5 = 0 \implies 16x^2 + 13 = 0 $ che non porge soluzioni reali. Dunque le uniche due soluzioni dell'equazione complessa proposta sono $z_1 = i $ e $z_2 = - 5/2 i $

Ti ringrazio tantissimo, mi è chiaro l'errore. Prendevo anche le soluzioni non reali del sistema.

Mi permetto di tornare all'esercizio di apertura, perché non è stata detta una cosa importante: oltre a saper fare i conti, devi anche saper ragionare.
Non sei più alle superiori, dove fare il conticino bastava... Qui serve mettere in moto le meningi, ragionare sui problemi.

Devo determinare le soluzioni di $8z=i|z|^3 barz$

Passando ai moduli e ricordando le proprietà del modulo, trovi:

$8|z|=|z|^3|bar(z)|\ =>\ 8|z| = |z|^4\ =>\ |z| (|z|^3 - 8) = 0$

da cui $|z| = 0, 2$; quindi $z=0$ è soluzione e le altre soluzioni hanno modulo $2$.
Se sostituisci $z = 2w$ con $|w| = 1$ nell'equazione ottieni:

$w = i bar(w)$

da cui, passando all'argomento e ricordato che $"arg"(bar(w)) = - "arg"(w) + 2kpi$ (con $k in ZZ$), ricavi:

$"arg"(w) = pi/2 - "arg"(w) + 2kpi\ =>\ "arg"(w) = pi/4 + k pi$,

quindi $w = cos(pi/4) + i sin(pi/4) = sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2$ oppure $w = cos((5pi)/4) + i sin((5pi)/4) = -sqrt(2)/2 - i sqrt(2)/2$.
Ne viene l'equazione ha altre due soluzioni $z = 2w = +- sqrt(2) +- i sqrt(2)$.