Esercizio compattezza

[Gnagni]

Buongiorno, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi con questo problema?? L'esercizio chiede se l'insieme $ H={(x,y) in RR^2 |-1 <= x^3+xy+y^3 <= 1}$ è compatto. L'insieme è chiaramente chiuso e graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.

[pilloeffe]

Ciao Gnagni,

graficamente risulta non limitato

Perché?

$- 1 \le x^3+xy+y^3 \le 1 \iff |x^3 + xy + y^3| <= 1 $

Cioè si ha $|f(x, y)| \le M $ con $f(x,y) = x^3+xy+y^3 $ e $M = 1$

[Gnagni]

Ciao Gnagni,

graficamente risulta non limitato

Perché?

$- 1 \le x^3+xy+y^3 \le 1 \iff |x^3 + xy + y^3| <= 1 $

Cioè si ha $|f(x, y)| \le M $ con $f(x,y) = x^3+xy+y^3 $ e $M = 1$

Non dimostri che l'insieme è limitato, quella è la condizione.

[pilloeffe]

Quale condizione? Scusa, qual è la definizione di insieme limitato?

[Martino]

Però pilloeffe, la condizione $|f(x,y)| le M$ non definisce necessariamente un insieme limitato, dipende dalla funzione $f$. Per esempio $|xy| le 1$ definisce un insieme illimitato.

[pilloeffe]

Ciao Martino,

Sì, hai ragione. Chiedo scusa.

[j18eos]

@Gnami Prova a costruire una successione illimitata contenuta in \(H\).

[Gnagni]

@Gnami Prova a costruire una successione illimitata contenuta in \(H\).

Ehh ho provato ma come faccio se non ho idea di come sono fatti i punti di H? Oppure ho tentato di dimostrare che per ogni x fissato esiste un y che soddisfa la condizione ma nemmeno così arrivo lontano

[Martino]

Prova a dimostrare che, se fissi un qualsiasi $y in RR$, l'equazione $x^3+xy+y^3=0$ (nell'incognita $x$) ha soluzioni reali.

[gabriella127]

graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.

Ma sei sicuro che non è limitato? A me viene questo (con Desmos):







Sembra che quelle code sottili vanno a finire.