Dubbi integrale multiplo

Avevo capito che non posso ragionare su z^2, quindi ho fatto così.

$ r^2+z^2>1 $
$ r^2+z^2<4 $

Ed ho espresso zeta senza valore assoluto ma in modo equivalente, ossia

$ \-sqrt{4-r^2}<z<-sqrt{1-r^2}$ e. $\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}$

E qui le C.E sono per forza $\0<r<1$, dato che per questi valori $\sqrt{1-r^2}$ e $\sqrt{4-r^2}$ esistono entrambe.

Il punto è che non è vero che sono equivalenti; ribadisco che non puoi estrarre le radici quadrate nelle equazioni/disequazioni senza prima assicurarti che tutti i membri siano non negativi. Dato che a quel punto ancora non hai stabilito un intervallo di variazione su \(r\), non conosci il segno di \(1-r^2\) e quindi non puoi estrarre radici quadrate (o meglio, puoi farlo ma in generale dedurrai qualcosa di falso). Occhio che le condizioni di realtà le hai ottenute dopo aver estratto la radice quadrata, ma tu ancora non ti eri assicurato di poterlo fare. Perciò, essendo tu partito da una premessa falsa, hai ottenuto un risultato (potenzialmente) falso.

Inoltre, non sono solo le condizioni di esistenza a darti l'intervallo di valori corretto. Pensa, ad esempio, a una situazione in cui in coordinate polari hai \(\sqrt{2-r^2}<z<\sqrt{r^2+r+1}\). Le condizioni di esistenza delle radici sono \(0 \le r \le \sqrt{2}\), ma da \(\sqrt{2-r^2}<z<\sqrt{r^2+r+1}\) segue \(\sqrt{2-r^2}<\sqrt{r^2+r+1}\) che, risolta, conduce a \(1/2<r<\sqrt{2}\) e quindi pone un vincolo aggiuntivo sull'intervallo in cui può variare \(r\). In sostanza, devi tenere conto di cosa implicano tutte le condizioni sull'insieme di integrazione per poter stabilire correttamente l'insieme di integrazione.

Sì, ho capito perfettamente di cosa parli. Se $a(r)<z<b(r)$
devo assicurarmi che $a(r)$ sia minore di $b(r)$ e mettere i valori che sussistono in quest'ultima disequazione, ma in sto caso specifico $\sqrt{4-r^2}$ è sempre maggiore di $\sqrt{1-r^2}$ su tutto l'insieme di definizione $0<r<1$ e parimenti vale che $-\sqrt{4-r^2}<-\sqrt{1-r^2}$.

Gli $r^2$ si cancellano quindi rimane che 2 è maggiore di 1 nella risoluzione, che è sempre vero, e altresì vero l'opposto per gli zeta negativi.

In altre parole, la disequazione non pone vincoli aggiuntivi perché risulta in una sorta di assioma

Se possibile preferisco scriverti in privato

Non riesco a capire tutt'ora la scissione dell'intervallo $0<r<2$ in $0<r<1$ ed il resto dell'intervallo. Non so da dove la tiri fuori. Scusami la caparbietà ma non so da dove viene fuori.

Anche considerando il valore assoluto e considerando z puramente positivo non vedo altre condizioni aggiuntive su r

$\sqrt{1-r^2}<\abs{z}<\sqrt{4-r^2}$

diventa

$\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}$ per $z>0$

e qua la condizioni di esistenza per entrambi gli estremi è $0<r<1$

Da dove viene fuori quel $1<r<2$ non lo so.

La tiro fuori dal fatto che \(z^2+r^2 \ge r^2\) perché \(z^2 \ge 0\), ma è anche \(4>z^2+r^2\) e quindi deve essere anche \(4>r^2\). È la stessa situazione che hai riportato tu quando hai scritto \(a(r)<z<b(r)\). Prova a pensarla geometricamente: nel caso di sfere, le coordinate cilindriche proiettate sul piano non sono altro che un cerchio e la proiezione del tuo insieme sul piano è il cerchio di centro l'origine e raggio \(2\) perché, al variare dell'angolo e della quota \(z\), devi descrivere col raggio uscente dall'origine tutti i punti a distanza compresa tra \(0\) e \(2\) dall'origine: per \(0<r<1\) prendi i punti "sopra e sotto la sfera interna esclusa dal dominio di raggio \(1\)" mentre per \(1 \le r < 2\) prendi "tutti gli altri i punti della sfera piena che non stanno "sopra e sotto la sfera cava". Con un disegno sarebbe facile da far vedere, a parole è un po' più difficile da dire per farlo visualizzare. Quindi, come vedi, anche geometricamente è intuitivo che debba essere \(0<r<2\).

Il problema è sempre quello: dici "Su tutto l'insieme di definizione \(0<r<1\)", ma non è vero che l'insieme di definizione è \(0<r<1\) (in questo contesto andrebbe chiamato più propriamente l'intervallo di integrazione della variabile \(r\)). Quella è una condizione che ti permette di estrarre le radici, ma tu parti da una disequazione che non coinvolge radici e che quindi che non impone alcun vincolo sulla non negatività di \(1-r^2\). Perciò, non impone alcuna restrizione a \(0<r<1\) in assoluto (la impone invece se vuoi estrarre radici, ma allora devi separare i casi perché hai anche \(1 \le r < 2\) per quanto detto appena sopra). Se ti vai a rivedere la teoria, una disequazione del tipo \(\sqrt{f(x)}>g(x)\) viene sempre discussa distinguendo i casi \(g(x)<0\) o \(g(x) \ge 0\). Se \(g(x)<0\), allora la disequazione è vera per ogni \(x \in \text{dom}(f) \cap \{x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \ge 0\}\cap \text{dom}(g)\); se \(g(x) \ge 0\), allora si può scrivere \(g(x)=|g(x)|=\sqrt{\left(g(x)\right)^2}\) ed elevare ambo i membri al quadrato, ottenendo una disequazione equivalente perché ambo i membri sono non negativi. Nel tuo caso, hai omesso la parte in cui distingui i casi e hai imposto subito che sia \(g(x) \ge 0\); in particolare, avendo tu qui una disequazione dipendente da più variabili il discorso non è così semplice e va adattato a seconda di come varia \(r\). Ma tu, quando hai scritto \(1-r^2<z^2<4-r^2\), ancora non avevi un intervallo di variazione di \(r\) (nota bene che qui le radici ancora non sono comparse, quindi il discorso sulle condizioni di esistenza non sussiste ancora). Capisci che, in generale, procedendo così stai "perdendo un pezzo" di insieme di integrazione. Credo di non saperlo spiegare diversamente senza ripetermi: ti invito a rifletterci un po' per conto tuo e, se hai bisogno, possiamo anche riparlarne in un secondo momento .

il mio obiettivo non era arrivare al risultato che già conoscevo (che ho pure specificato asserendo che deve tornare il un certo modo), ma capire dove sbagliavo applicando un certo metodo...

Mah, veramente hai parlato solo di risolverlo con le coordinate cilindriche, cosa che ti ho fatto vedere, non che volessi per forza risolverlo con lo stesso procedimento errato che hai usato tu (e che fra l'altro ho potuto vedere per ben poco, dato che non mi sono scaricato l'immagine che avevi postato)... Detto questo e fermo restando che se ci sono 3 modi di ottenere un risultato in genere preferisco il più semplice e non il più complicato in assoluto, lascio volentieri la palla a Mephlip che comunque mi sembra che ti abbia già chiarito con dovizia di particolari perché il metodo che hai usato non può funzionare...

Penso di aver parzialmente compreso e ci farò orbitare un po' i neuroni. Grazie per la delucidazione. Scriverò quando posso.

La tiro fuori dal fatto che \(z^2+r^2 \ge r^2\) perché \(z^2 \ge 0\), ma è anche \(4>z^2+r^2\) e quindi deve essere anche \(4>r^2\). ...

Ciao. Ci sono ripassato e effettivamente ho capito dove ho sbagliato. L'ho capito in quanto nella disequazione $z^2>1-r^2$ ho estratto direttamente la radice senza considerare il caso in cui il secondo membro è negativo, ove la disequazione sussiste per tutti i valori che rendono tale membro negativo: invece io ho direttamente posto le C.E dopo la radice.
Il baglio di luce mi è venuto a metà della tua ultima risposta.

La disequazione $r^2+z^2\ge r^2$ non mi ha detto granché in quanto non sono abituato ad impostare le disequazioni in modo da ricondurmi ad altre note, ma il colpo l'ho trovato a metà del testo dove hai scritto che $f^2(x)>g(x)$ deve essere studiata anche quando $g(x)$ è negativa, cosa che io non ho fatto.

il mio obiettivo non era arrivare al risultato che già conoscevo (che ho pure specificato asserendo che deve tornare il un certo modo), ma capire dove sbagliavo applicando un certo metodo...

Mah, veramente hai parlato solo di risolverlo con le coordinate cilindriche, cosa che ti ho fatto vedere, non che volessi per forza risolverlo con lo stesso procedimento errato che hai usato tu (e che fra l'altro ho potuto vedere per ben poco, dato che non mi sono scaricato l'immagine che avevi postato)... Detto questo e fermo restando che se ci sono 3 modi di ottenere un risultato in genere preferisco il più semplice e non il più complicato in assoluto, lascio volentieri la palla a Mephlip che comunque mi sembra che ti abbia già chiarito con dovizia di particolari perché il metodo che hai usato non può funzionare...

Sì, volevo capire dove avevo sbagliato usando le coordinate cilindriche. Non mi sono contraddetto. Il risultato lo sapevo di già ma a me interessava la ragione per cui non tornava A ME. Poco importa se le coordinate cilindriche in sto caso sono ostiche, io l'ho fatto per pura curiosità e abituarmi agli integrali multipli, sorta di dimostrazione ma con un altro metodo.