Non so se ti interessa ancora avere una risposta visto che è passato un mese, però banalmente basta leggere:
https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Darboux https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_RiemannDove vedrai che le due definizioni sono praticamente identiche, l'unica differenza è la scelta delle "altezze" dei rettangoli(se guardi il link sarebbero le $f(t_i)$), con Riemann sono possibili tutte le scelte, mentre con Darboux le altezze da scegliere sono l'inf e il sup delle altezze dei singoli rettangolini, infatti le Somme di Darboux sono appunto le famose "Somme Inferiori" e "Somme Superiori" .
Potremmo dire che le Somme di Darboux siano un caso particolare di Somme di Riemann...
So che questa spiegazione non è completa e forse non chiarissima, ma se leggi i link è già spiegato tutto li...
"In matematica non si capiscono le cose. Semplicemente ci si abitua ad esse."
[John von Neumann]