Integrale curvilineo ed area

Buonasera, ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
si consideri l'insieme di $\RR^2$, $A = {x^2 + 2y^2 > 1, x^2+4y^2 <64}$
Determinare il valore dell'integrale:

$\int_(+\partial A) 2x (x^4+y^2)^(-1) dx + 4y^3(x^4+y^2)^(-1) dy$.

Essendo una domanda a risposta multipla, le possibili risposte sono
(a) $2\pi$
(b) $0$
(c) $8\pi$
(d) è pari all' area di $A$
(e) nessuna delle altre.

Ho provato ad usare le formule di gauss-green o il teorema della divergenza, ma non sono giunto a nessuna conclusione. Dovrebbe essere un esercizio abbastanza rapido da svolgere (il tempo medio per ogni domanda del quiz è 5 minuti), ma penso ci sia davvero qualcosa che non vedo.

Grazie a chi risponderà

Dato che \(\partial A=\gamma_1\cup\gamma_2\), dove: \[
\begin{aligned}
&\gamma_1\,:\,(x,y)=\left(\cos\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta\right),\quad\theta\in(-\pi,\pi]\,;\\
&\gamma_2\,:\,(x,y)=\left(8\cos\theta,4\sin\theta\right),\quad\theta\in(-\pi,\pi]\,;\\
\end{aligned}
\] è sufficiente guardare in faccia le rispettive integrande per capire che...

Ultima modifica di sellacollesella il 15/02/2024, 20:02, modificato 1 volta in totale.

Dopo aver applicato Gauss-Green, ti basta ragionare per simmetrie. Le derivate non devi calcolarle esplicitamente, per noti fatti su quali simmetrie ereditano le derivate di una funzione dalla funzione stessa.

giusto! non mi era proprio venuto in mente di usare la parità/disparità delle funzioni e delle loro derivate, che sciocco!
Grazie mille!!