10/02/2024, 12:08
Vogliamo mostrare che, posto $rho=sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = |vec(r)|$, risulta $(partial)/(\partial x) [1/rho] = - x/rho^3$ .
Posto:
$g(rho) := 1/rho$,
per derivazione della funzione composta abbiamo:
$(partial)/(\partial x) [g(rho)] = ("d" g)/("d"rho) * (partial rho)/(\partial x) = -1/rho^2 * (2x)/(2rho) = - x/rho^3$.
In generale, vale:
$nabla g(rho) = ("d" g)/("d" rho) * nabla rho = (g^'(rho))/rho * vec(r)$
con $nabla = nabla_(vec(r)) = ((partial )/(partial x), (partial )/(partial y), (partial )/(partial z))$ gradiente fatto rispetto alle tre coordinate "spaziali".
Potrebbe andare bene come risposta ai miei dubbi?La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$ (il ragionamento è simile con x^2+y^2 ma tanto sono costanti e non faccio danno a toglierle sul ragionamento che segue). E in effetti dietro quella radice in tal modo si maschera la derivata della funzione composta "modulo" che tanto mi turbava:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte.
10/02/2024, 22:56
12/02/2024, 10:50
La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$ (il ragionamento è simile con x^2+y^2 ma tanto sono costanti e non faccio danno a toglierle sul ragionamento che segue). In sostanza quello che discende dal modulo del vettore (ossia la radice $sqrt(x^2)$) quando derivo solo in x mi porta a derivare un valore assoluto tipo $|x|$.
E infatti:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte.
12/02/2024, 12:40
pistacios ha scritto:Risponderei che trovo: $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$. no?
12/02/2024, 13:47
12/02/2024, 15:47
12/02/2024, 16:49
Già il fatto che tu usi uno scalare ed un vettore intercambiabilmente la dicono lunga sulla confusione che hai.
12/02/2024, 17:37
pistacios ha scritto:C'è però una cosa che non ho capito, ossia quando dici:Già il fatto che tu usi uno scalare ed un vettore intercambiabilmente la dicono lunga sulla confusione che hai.
Non credo mi sia chiaro dove sto usandolo intercambiabilmente. Ti posso gentilmente chiedere specificatamente dove?
pistacios ha scritto:$f(x,y,z)=(x,x,x)=vec g(x)$ è $sqrt3x/|x|$
pistacios ha scritto:$f(x,y,z)=(x,x,x)=vec g(x)$
pistacios ha scritto:$sqrt3x/|x|$
12/02/2024, 17:57
quindi $|vecg (x)|=sqrt3*sqrt(x^2)$ per definizione
che è esattamente il mio caso in quote, infatti:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$
ergo la derivata di $|vecg (x)|$ è $sqrt3x/|x|$
12/02/2024, 18:01
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