Pssst... io farei così all'inizio. Notando la presenza di un valore assoluto ( $ | x | $ ) all'interno di $ f(x) $, scriverei quest'ultima come una funzione definita a tratti:
\[
f(x) :=
\begin{cases}
\log \left( x^2 + x + 1 \right) - x & \text{per } x \geq 0 \\
\log \left( x^2 + x + 1 \right) + x & \text{per } x < 0
\end{cases}
\]
che tornerà utile per studi successivi.
Poi cercherei l'insieme di definizione di $ f $. Ora, l'unico problema che potrebbe esserci all'interno di $ f $ è $ \log \left( x^2 + x + 1 \right) $. Dobbiamo vedere se qui vengono rispettate le condizioni di esistenza del logaritmo. Ponendo:
\[
x^2 + x + 1> 0
\]
che, come indicato da @pilloeffe, è sempre vera $ \forall x \in \mathbb{R} $. Dunque, il dominio naturale $ \mathcal{D} $
1 di $ f $ risulta essere:
\[
\mathcal{D} \equiv \mathbb{R}.
\]
Ora, cosa puoi dire sulla continuità di $ f $?
Il mio rapporto con la matematica è come quello tra Dante e Beatrice: la amo, ma è un'amore non corrisposto.