Vabbuò, schiaffo pure la mia versione.
Rosa333 ha scritto:La prima cosa da fare immagino sia effettuare un cambio di coordinate.
In verità si può farne a meno, in quanto una volta mostrato che si tratta di un solido costituito da strati di area calcolabile in modo banale si riduce ad una integrazione singola; da noi era un
must ad "analisi 2".
In particolare, assegnato: \[
A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:2x^2-1\le 3y^2+5z^2\le x^2+3\right\}
\] è evidente che: \[
2x^2-1\le x^2+3 \quad\Leftrightarrow\quad -2\le x\le 2
\] quindi, per simmetria, possiamo considerare: \[
B=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 2,\,2x^2-1\le 3y^2+5z^2\le x^2+3\right\}
\] che a sua volta è la differenza tra: \[
\begin{aligned}
&B_1=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 2,\,3y^2+5z^2\le x^2+3\right\};\\
&B_2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le 2,\,3y^2+5z^2\le 2x^2-1\right\}.\\
\end{aligned}
\] Pertanto, ne consegue che: \[
\begin{aligned}
||A||
&=2\left(\int_0^2 \pi\sqrt{\frac{x^2+3}{3}}\sqrt{\frac{x^2+3}{5}}\,\text{d}x-\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^2 \pi\sqrt{\frac{2x^2-1}{3}}\sqrt{\frac{2x^2-1}{5}}\,\text{d}x\right)\\
&=\frac{2\pi}{\sqrt{15}}\left(\int_0^2\left(x^2+3\right)\text{d}x-\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^2\left(2x^2-1\right)\text{d}x\right)\\
&=\frac{2\pi}{\sqrt{15}}\left(\frac{26}{3}-\frac{10+\sqrt{2}}{3}\right)\\
&=\frac{2\pi}{3\sqrt{15}}\left(16-\sqrt{2}\right)\\
\end{aligned}
\] dove basta ricordare che \(\text{area}\left(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}\le 1\right)=\pi\,a\,b\).