25/01/2024, 18:00
25/01/2024, 18:23
ciaomammalolmao ha scritto:Nel caso lo fosse sapreste spiegarmi come faccio io a dire nella tesi che la condizione è soddisfatta per ogni $M’>0$ quando io ho posto che $M’=l-epsilon+M$? $M’$ non dovrebbe essere arbitrario? In questo caso non è neanche sempre positivo no?
ciaomammalolmao ha scritto:Oppure posso risolvere dicendo che epsilon è molto piccolo rispetto ad M
ciaomammalolmao ha scritto:cosa significa che $epsilon, M$ devono essere arbitrari?
25/01/2024, 18:43
25/01/2024, 18:53
Ho detto un'altra cosa: devi dimostrare che sono equivalenti, ossia che la prima implica la seconda e la seconda implica la prima. Prova a ragionare su questo. Comunque, per ora non dargli troppo peso e concentrati dapprima su quanto dirò dopo in questo messaggio: è un ragionamento un po' più complicato rispetto all'alternativa con i valori assoluti. Se ti interessa, ne possiamo parlare dopo che fissiamo i tuoi dubbi .ciaomammalolmao ha scritto:Come posso dimostrare che vale anche per M negativi? È necessario comunque perché la successione sia divergente a più infinito che gli M siano positivi no?
ciaomammalolmao ha scritto:A lezione questa proposizione è stata dimostrata fissando come valore particolare $epsilon=1$. Perché in questo caso va bene scegliere un valore fisso di epsilon? Non devo dimostrare come hai detto te che la proposizione vale in generale?
ciaomammalolmao ha scritto:Perchè poi posso fissare la epsilon a piacere in tutti i teoremi sull’algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, etc.? Anche in questi casi il teorema non deve valere sempre? Probabilmente è una cosa banale ma non riesco a capire.
25/01/2024, 19:29
25/01/2024, 20:35
Esattamente. Avendolo tu preso vero per ipotesi, sai che la definizione è vera e quindi sai che è vera l'arbitrarietà di $\epsilon$ o di $M$ e quindi puoi sfruttarla. Invece, per dimostrare che è vero, devi prefissare un $\epsilon$ o un $M$ generico e far vedere che tutto il resto della definizione di limite è verificata per quell'$\epsilon$ o $M$ prefissato ma generico. Il modo più semplice per capirlo è un esempio in cui si vedono chiaramente sia $\epsilon$ sia $N_\epsilon$: consideriamo \(1/n\) e facciamo vedere che tende a $0$ per $n \to +\infty$. Ragionando intuitivamente, se vuoi che \(|1/n-0|\) stia sotto \(\varepsilon=1\) prefissato, devi prendere $n>1$ (e quindi $N_\epsilon=1$); se vuoi che stia sotto \(\varepsilon=1/10\) prefissato, devi prendere $n>10$ (e quindi $N_\epsilon=10$). Se vuoi che stia sotto \(\varepsilon=1/100\), devi prendere $n>100$ (e quindi $N_\epsilon=100$). Ma questi sono tutti casi specifici: in astratto, dici "Sia $\epsilon>0$ arbitrario" e osservi che \(|1/n-0|<\varepsilon\) è vera se e solo se \(n>1/\varepsilon\). Quindi, esiste \(N_\varepsilon=1/\varepsilon\) tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, se \(n> N_\varepsilon)\) allora \(|1/n-0|<\varepsilon\). Ma $\epsilon>0$ era arbitrario, quindi ciò vale per ogni $\epsilon>0$. Osserva infine la dipendenza di $N$ da $\epsilon$, che viene illustrata dalla presenza di $\epsilon$ al pedice di $N$ nella notazione $N_\epsilon$: se cambia $\epsilon$, in generale cambia anche $N$ come puoi vedere nel caso di \(1/n\).ciaomammalolmao ha scritto:Ah ho capito credo, quindi detto un po’ male, se so per ipotesi che una successione converge, posso scegliere $epsilon$ a piacere perché la proposizione è verificata $AAepsilon$, ma se voglio provare che una successione converge/diverge, devo provare che la definizione è verificata per ogni $M$/$epsilon$?
ciaomammalolmao ha scritto:Comunque si mi piacerebbe capire l’equivalenza tra le due definizioni
25/01/2024, 20:59
25/01/2024, 21:06
ciaomammalolmao ha scritto:Ok mi torna grazie . Ma perché allora in genere si pone $M>0$? Per rendere più evidente il fatto che $a_n->+infty$?
ciaomammalolmao ha scritto:Quello che devo dimostrare quindi è che scelto $epsilon_0>=epsilon>0$ la definizione è equivalente?
25/01/2024, 22:06
27/01/2024, 00:34
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