Sto studiando la seguente funzione:
\[
f(x) = \begin{cases}
0 & \text{se } x = 0 \\
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) & \text{se } x \neq 0
\end{cases}
\]
Scrivendone la legge come una funzione a tratti, ottengo:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) > 0 \\
0 & \text{se } x = 0 \vee x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0\\
\end{cases}
\]
ossia:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } \frac{1}{\pi \left( 2n + 1 \right)} < x < \frac{1}{2 \pi n }, \quad \text{con } n \in \mathbb{R} \\
0 & \text{altrimenti.}
\end{cases}
\]
Ora, già la presenza di
\[
\max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right)
\]
(che tradotto significa: "se $ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) < 0 $, allora sputa fuori $ 0 $) ci assicura che la funzione sarà sempre positiva. Nel caso specifico $ x = 0 $, $ f $ sarà uguale a zero, confermando la tesi.
Fino a qui va bene? poi procederò col stabilire se e dove è continua.