Studio di funzione

come si comporta il grafico intorno a $+oo$ e a $-oo$?

In realtà, dovessero esserci limiti per $ x \to \pm \infty $, questi assumono valore compreso tra $ [0, +\infty) $, in quanto $ f $ può assumere valori solo positivi o nulli.

Posso valutare

\[
h(x) = x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)
\]

e dato che stiamo invece parlando di $ \max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) $, possiamo dire con certezza che, dovesse $ h (x) \to -\infty $, $f(x) $ tenderà invece a $ 0 $.

\[
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x} \Longrightarrow x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) \sim x^2 \frac{1}{x} = x
\]
da cui si ottiene che $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $ (per quanto citato sopra).

...Aspetta un secondo. Ma non è che, dato che la definizione di $ f $ cambia, devo vedere come si comporta nell'intorno dei punti $ x_k $, dunque sono due funzioni diverse da analizzare a seconda da quale parte (sinistra o destra) ti trovi quando ci si avvicina ad essi?

Posso valutare

\[
h(x) = x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right)
\]

e dato che stiamo invece parlando di $ \max \left( 0, x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) $, possiamo dire con certezza che, dovesse $ h (x) \to -\infty $, $f(x) $ tenderà invece a $ 0 $.

\[
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x} \Longrightarrow x^2 \sin \left( \frac{1}{x}\right) \sim x^2 \frac{1}{x} = x
\]
da cui si ottiene che $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ e $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $ (per quanto citato sopra).

Due precisazioni.
Uno: intorno a $-oo$ la funzione è nulla, quindi non "tende a zero" ma "è zero".
Due: l'approssimazione trovata intorno a $+oo$ mostra che hai asintoto obliquo.

...Aspetta un secondo. Ma non è che, dato che la definizione di $ f $ cambia, devo vedere come si comporta nell'intorno dei punti $ x_k $, dunque sono due funzioni diverse da analizzare a seconda da quale parte (sinistra o destra) ti trovi quando ci si avvicina ad essi?

E già...

\[ \lim_{h \to 0^+ } \frac{ f \left( \frac{1}{\pi}+h \right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right) }{h} = \lim_{h \to 0^+ } \frac{\left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{2h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left( \frac{1}{\frac{1}{\pi} +h} \right) - 0}{h} = \frac{1}{\pi^2} \lim_{h \to 0^+ } \frac{ h^2 \sin \left( \frac{1}{\frac{1}{\pi} +h} \right) }{h} \]\[ \lim_{h \to 0^- } \frac{ f \left( \frac{1}{\pi}+h \right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right) }{h} = \lim_{h \to 0^- } \frac{h^2 \sin \left( \frac{1}{h} \right)}{h} = \lim_{h \to 0^- } h \sin \left( \frac{1}{h} \right) = 0 \]
\[ \lim_{h \to 0^+ } \frac{ f \left( \frac{1}{\pi}+h \right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right) }{h} = \lim_{h \to 0^+ } \frac{\left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{2h}{\pi} + h^2 \right) \sin \left( \frac{1}{\frac{1}{\pi} +h} \right) - 0}{h} = \frac{1}{\pi^2} \lim_{h \to 0^+ } \frac{ \sin \left( \frac{1}{\frac{1}{\pi} +h} \right) }{h} \]
Forma indeterminata.
Usando la regola di de L'Hopital ottengo
\[
\lim_{h \to 0^+ } \frac{ \sin \left( \frac{1}{\frac{1}{\pi} +h} \right) }{h} = \lim_{h \to 0^+ } = -\frac{\pi^2 \cos \left( \frac{\pi}{1+\pi h}\right) }{(1 + \pi h )^2} = \pi^2
\]
Pertanto
\[
\lim_{h \to 0^+ } \frac{ f \left( \frac{1}{\pi}+h \right) - f \left( \frac{1}{\pi} \right) }{h} = 1
\]

Limiti diversi. Non è derivabile nei punti $ \frac{1}{k\pi} $ con $ k \in \mathbb{Z} $.

Se $f(0)=0$, non vedo come $f$ possa essere sempre positiva... Che vuol dire "positivo"?

Magari ncant è francese.

Tratto da uno dei compiti del mio Prof. di Analisi:

"Si determini il valore minimo (qualora esista) della seguente funzione $ f(x) $ definita sui reali positivi $ R^+ = { x \geq 0 } $".

Ma che...

[...] definita sui reali positivi $R^+=\{x ge 0\}$".

I simboli matematici sono disciplinati dalla normativa ISO 80000-2 alla quale teoricamente ci si dovrebbe attenere...
I reali positivi si dovrebbero indicare con $\RR_{> 0} := {x \in \RR : x > 0} $
Altri simboli usati sono $\RR^+ $ oppure $\RR_{+} $
I reali positivi o al più nulli si dovrebbero indicare con $\RR_{\ge 0} := {x \in \RR : x \ge 0} $
Altri simboli usati sono $\RR_0^+ $ oppure $\RR_{0+} $
Ovviamente si possono anche usare altre simbologie, ma dato che non sono standard devono essere preventivamente definite al fine di evitare incomprensioni.