serie e differenziale

[Coxem]

aiuto! so che nessuno ha tempo da perdere ma vi prego.
qual'è il carattere di questa serie: n da 1 a + infinito di (1/n)log (1+3/n)
secondo l'assistente all'uni questa converge perchè (1/n)log(1+3/n)~3/n^2
e poi confrontando asintoticamente con 1/n^2 il lim viene 3
io poi ho fatto: visto che log(...)>1 allora (1/n)log(...)>1/n
1/n diverge quindi anche la nostra serie diverge.
magari è una stupidata ma non mi viene
poi data f(x) il suo difefrenziale in x° è f'(x°)(x-x°)?
dopo infine come faccio data una serie a stabilire quale criterio applicare?mi sembra di andare per tentativi

[Angelo]

Coxem, quando scrivi log(1+3/n)>1, commetti un errore, infatti per ogni n>1 risulta 0<log(1+3/n)<1 (ho supposto che la base sia il numero di Nepero e). Quindi non puoi più arrivare alla conclusione che la serie è divergente.

Una possibile dimostrazione della convergenza della serie può essere la seguente.

Siccome la successione (1+3/n)^n è crescente e il suo limite è e^3, allora si ha (1+3/n)^n < e^3 per ogni n intero positivo, da cui segue,
log((1+3/n)^n)<3, per ogni n intero positivo,
n*log(1+3/n)<3, per ogni n intero positivo,
log(1+3/n)<3/n, per ogni n intero positivo.

Allora la serie di termine generale (1/n)log(1+3/n) è una serie minorante della serie di termine generale 3/(n^2) e siccome quest'ultima sappiamo essere convergente, allora è pure convergente la prima.

Il differenziale di f(x) in x0 relativo all'incremento deltax=x-x0 è per definizione df(x)=f'(x0)(x-x0).

Non credo ci sia di un procedimento standard per studiare il carattere di una serie: si hanno a disposizione un certo numero di criteri e bisogna utilizzarli fino a quando non si trova quello che dà una risposta certa.


Angelo

[Coxem]

Angelo non so come ringraziarti! gentilissimo
per il differenziale sai che è il mio testo (Flandoli-introduzione all'analisi matem, un casino assurdo quel libro) definidce la funzione differenziale di f(x) come df(x)=f'(x°)(x)
ad esempio f(x)=x^2+3x-2 df(x)in x°=3 è (6+3)(x)=9x
sul Ghizetti Rosati invece la dice come te. allora non sapevo a chi dare retta
Le serie sono uno degli argomenti che più odio, poi con questa didattica intensiva a ing non si ha neppure il tempo di assimilare. ma grazie ancora ciao