Integrale di una funzione positiva

Ciao otta,

Si vale anche in questo caso, ma la prima dimostrazione che mi viene in mente è questa:
Sia $X=[a,b]$ e $\lambda$ la misura di Lebesgue su $RR$.

$X= \{ x \in X: f(x)>0\} = \bigcup_{k \in NN_0} \{ x \in X : f(x) > 1/k\} =: \bigcup_{k \in NN_0} A_k$

$\lambda(A) >0$ dunque $ \exists \overline{k} \in NN_0 : \lambda(A_{\overline{k}})>0$

Dunque $\int_X f d\lambda \ge \int_{A_{\overline{k}}} f d\lambda \ge \int_{A_{\overline{k}}}1/\overline{k} = 1/\overline{k} \lambda(A_{\overline{k}}) >0$

Come vedi la mia fantasia per le dimostrazioni di teoria della misura non è molto ampia

Grazie della risposta Bremen000 !

Di nulla!

La dimostrazione è molto semplice.
Se f(x) è una funzione positiva in un intervallo [a,b] (f(x)>0) con a < b
ed F(x) l'insieme delle sue primitive ($\int f(x) dx$ ) , possiamo allora scrivere f(x) = F'(x) >0.
Ciò ci suggerisce che F(x) è crescente nell'intervallo [a,b] (ovvero che $AA$(a < $x_n$ < b), f($x_n$)<f($x_(n+1)$)), pertanto la monotonia della funzione ci assicura che l'integrale \(\int_a^b f(x)\ \text{d}x \) definito come F(b)-F(a) sia positivo poiché F(b) $>$ F(a) sempre.

Ciao macchiota,

Benvenuto sul forum!

Non so se te ne sei reso conto bene, mai hai postato in un thread che può considerarsi chiuso il 25/11/2017, cioè circa 7 anni fa...

Se sei interessato a porre quesiti nuovi, ti consiglierei vivamente di aprire un nuovo post...