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Come faccio dividere la parte reale dalla parte immaginaria di questa funzione?

$f(z) =(1+iz)/(1-iz)$

In particolare mi serve per affermarne l'olomorfia secondo Cauchy Riemann

Ricorda che il rapporto tra due numeri complessi $a$ e $b$ è equivalente a
\[
\frac{a\overline{b}}{\lvert b\rvert^2}.
\]
Il denominatore così è un numero reale, e puoi separare più comodamente la parte reale e immaginaria del prodotto che è al numeratore.

phaerrax ha scritto:Ricorda che il rapporto tra due numeri complessi $a$ e $b$ è equivalente a
\[
\frac{a\overline{b}}{\lvert b\rvert^2}.
\]
Il denominatore così è un numero reale, e puoi separare più comodamente la parte reale e immaginaria del prodotto che è al numeratore.

Grazie phaerrax ma anche applicando mi esce ancora un numero immaginario:

$(1+iz) / (1-iz) * (1+iz)/(1+iz) = (1+iz+iz-z^2) / (1 + z^2) = (2iz-z^2) / (1+z^2)$

e adesso al denominatore mi ritrovo $1 +$ il quadrato di un numero complesso.

scusate, mi intrometto, kmn9 in realtà dovresti moltiplicare z per il suo coniugato. io ho provato a risolvere l'esercizio ponendo z=x+iy e a moltiplicare numeratore e denominatore per (x-iy-1). ora non so se calcoli e procedimento sono corretti, prova magari a rifarlo e vedi, a me la parte immaginaria va via al denominatore e quindi posso separare parte reale e parte immaginaria.

se sviluppo in forma cartesiana mi viene:

$(1+iz)/(1-iz) = (1+ix-y) / (1-ix-y)$

moltiplicare per $x-iy-1$ mi complica la vita nel senso che al denominatore non semplifico niente

ok avevo copiato il testo originale(che non aveva la i). in ogni caso non cambia molto, basta moltiplicare per (ix+y+1), comunque mi sembra che ci sia un segna sbagliato al denominatore nell'ultima equazione che hai messo. ok riflettendoci se non ho sbagliato nulla in pratica stai moltiplicando sopra e sotto per (i*coniug.z+1). svolgendo i calcoli il denominatore dovrebbe venire |z|^2+2Im(z)+1

Avevi ragione, effettivamente il testo originale è diverso da quello che ho scritto nel post successivo, mi sono confuso con due esercizi simili.

Comunque verificando mi trovo con te, bastava moltiplicare per il denominatore con z coniugato.

quindi nel caso di:

$(1+iz)/(1-iz) = (1+ix-y) / (1-ix+y)$ bisogna moltiplicare per $1+ix+y$

nel caso di:

$(1+z)/(1-z) = (1+x+iy) / (1-x-iy)$ bisogna moltiplicare per $1-x+iy$

giusto?