Coprire Q

[marcellus zebra]

Ciao, Ho un altro problemino simpatico e subdolo che trovo divertente e istruttivo.

Come è noto Q ha misura di lesbegues nulla, quindi esiste una copertura di Q mediante intervalli aperti tale che
somma(misura(Intervalli))<epsilon [per ogni epsilon]

Il problema è, dato epsilon, costruire effettivamente una tale copertura.

Ciao, Marcellus

[Angelo]

Siccome Q è un insieme numerabile, possiamo rappresentarlo tramite una successione numerica {an}n, per esempio attraverso la seguente successione:
a1=0, a2=1, a3=-1, a4=1/2, a5=-1/2, a6=2, a7=-2, a8=1/3, a9=-1/3,
a10=3, a11=-3, a12=2/3, a13=-2/3, a14=3/2, a15=-3/2, a16=1/4,
a17=-1/4, a18=4, a19=-4, a20=3/4, a21=-3/4, a22=4/3, a23=-4/3,
a24=1/5, a25=-1/5, a26=5, a27=-5, a28=2/5, a29=-2/5, a30=5/2, ....

Fissato epsilon>0, una copertura di Q è la seguente:

U ]an - epsilon/(2^(n+2)), an + epsilon/(2^(n+2)) [.

La misura di ogni intervallo aperto è: epsilon/(2^(n+1))
La misura m di tale copertura è:

m <= epsilon/2 *(1/2 + 1/4+ 1/8+ ....)=epsilon/2 < epsilon.







Angelo

[marcellus zebra]

Esattamente.

carino, no?

Resta comunque difficile per l'immaginazione capire come tutti questi aperti non coprano R. Il che mi suggerisce un'altro quesito.

Determinare ora un punto di R non incluso nella copertura.

Ciao, Marcellus.