due quasi "problemi" [Forse]

[marcellus zebra]

Ciao, vorrei suggerire un problema divertente.

Dato uno spazio metrico X non completo,dimostrare che X è "completabile" essenzialmente in un solo modo.

P.S. Il testo, contrariamente all'uso della matematica, è assai fumoso e poco chiaro. Il bello sta proprio lì.
E' un po' come il problema:

Dare una definizione di piramide N-dimensionale e determinarne il volume.

Ciao, Marcellus.

[Angelo]

Riguardo il primo problema vorrei precisare che è possibile dimostrare non tanto l'unicità del completamento, quanto piuttosto l'esistenza di uno spazio metrico completo E "minimo" contenente X.
Con ciò intendo dire che ogni eventuale altro completamento di X dovrà contenere E (sia dal punto di vista insiemistico che metrico).

Per costruire E occorre considerare l'insieme S di tutte le successioni di Cauchy in X, introdurre una relazione di equivalenza in modo da identificare tutte le successioni aventi lo stesso limite, passare all'insieme quoziente E e definire in esso un'opportuna metrica a partire da quella di X.
Infine occorre dimostrare che l'insieme quoziente E rispetto alla metrica introdotta è effettivamente completo.

In sintesi la dimostrazione dell'esistenza di E è questa.






Angelo

[marcellus zebra]

Esattamente quello che feci anch'io a suo tempo.
L'unicità si ha nel senso che ogni nucleo minimo che soddisfa le condizioni è isomorfo a quello costruito nella dimostrazione.

Io mi ero divertito parecchio (ci sono tanti conti e tante mini-dimostrazioni all'interno)...

Per il secondo quesito nessuna idea?

Ciao, Marcello