Cauchy

[jarsy]

Avrei bisogno di una dimostrazione rigorosa e completa del seguente teorema, grazie anticipatamente a chi può aiutarmi:
"Ogni successione di Cauchy è limitata (in particolare ogni successione convergente è limitata). Ogni successione divergente è non limitata (e in particolare non è di Cauchy)."

[Angelo]

Fissato epson=1, essendo la successione di Cauchy, esiste v intero positivo tale che per ogni n,m >v risulta |a(n)-a(m)|<1.
In particolare per m=v+1 e per ogni n>v si ha |a(n)-a(v+1)|<1 .
Sia ora L=max {|a(1)-a(v+1)| , |a(2)-a(v+1)|, ..., |a(v)-a(v+1)|,1}.
Per ogni n intero positivo risulta pertanto,
|a(n)- a(v+1)|<= L, cioè,
a(n) appartiene, per ogni n, all'intervallo [ a(v+1)-L, a(v+1)+L ].

Per ogni k>0 esiste, per la divergenza, un indice v intero positivo tale che per ogni n>v risulta a(n)>k.
In particolare a(v+1)>k.
Per l'arbitrarietà di k>0 segue che l'insieme dei termini della successione è privo di maggioranti e di conseguenza l'insieme stesso è illimitato.


Angelo