Problema di Cauchy

$\{(y' = -(x^2 +xy + y^2 )/x^2),(y(1) = 2):}$

pensavo di risolverla come ED di bernoulli, ma mi si pone un problema

$y' + y/x = -1 -y^2/x^2$

$y'y^-2 + y^-1/x = -y^-2 - 1/x^2$

pongo $z= y^-1$ -----> $z' = -y^-2y'$


il problema mi viene poi nella sostituzione, come me la cavo?

UP

Io ho provato a farla ponendo $z= y/x$ così l'equazione è diventata : $z'x=z^(2)-1$ e mi sono ricondotta ad una semplice equazioni a variabili separabili . Credo che sia giusta,tu che ne dici???

no, con la sostituzione si ottiene $xz' + 2z = -1 - z^2$ e anche in quel caso è un'equazione di bernoulli

UP

up

up

La EDO è a secondo membro omogeneo e si può risolvere facendo la sostituzione \(y(x)=x\ u(x)\), la quale muta l'equazione in:
\[
x\ u^\prime (x) = 1+u^2(x) \; ,
\]
che è più semplice di quella assegnata (in quanto è a variabili separabili), e la condizione iniziale in \(u(1)=2\).
Chiaramente per \(x\) intorno a \(1\) la soluzione \(u\) è strettamente crescente, quindi la sostituzione \(\tau =u(t)\) è lecita e si ha:
\[
\int_2^{u(x)} \frac{1}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau \stackrel{\tau=u(t)}{=} \int_1^x \frac{u^{\prime (t)}}{1+u^2(t)}\ \text{d} t = \int_1^x \frac{1}{t}\ \text{d} t = \ln x
\]
ossia:
\[
\arctan u(x)=\arctan 2 +\ln x
\]
e ciò importa:
\[
u(x)= \tan (\arctan 2+\ln x)\; .
\]
Da qui ricavare \(y(x)\) è semplicissimo.

scusa ma non mi ritrovo con la tua sostituzione, come ottieni la nuova equazione?

c'è un meno davati alla frazione