è altamente probabile essere scemo all'n-esima potenza, ma non riesco a saltarne fuori!
Per entrare nel merito del calcolo, comincio con una regione circolare \(x^2+y^2\le r^2\):
- lunghezza corda: \(l(y):=2\left(r^2-y^2\right)^{\frac{1}{2}}\);
- definizione funzione: \(f(y):=\int_y^r l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{2}{3}\left(r^2-y^2\right)^{\frac{3}{2}}\);
- calcolo integrale: \(I:=\int_{-r}^r \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{5\pi}{72}r^6\).
Quindi, passo ad una regione rettangolare \(-\frac{b}{2}\le x\le\frac{b}{2}\), \(-\frac{h}{2}\le y\le\frac{h}{2}\):
- lunghezza corda: \(l(y):=b\);
- definizione funzione: \(f(y):=\int_y^{\frac{h}{2}} l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{b}{8}\left(h^2-4y^2\right)\);
- calcolo integrale: \(I:=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{1}{120}bh^5\).
Infine, passo ad una prima regione triangolare: \(-\frac{b}{3}\le x\le\frac{b}{3}-\frac{b}{h}y\), \(-\frac{h}{3}\le y\le\frac{2}{3}h\):
- lunghezza corda: \(l(y):=\left(\frac{2}{3}-\frac{y}{h}\right)b\);
- definizione funzione: \(f(y):=\int_y^{\frac{2}{3}h} l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{b}{81h}\left(h+3y\right)\left(2h-3y\right)^2\);
- calcolo integrale: \(I:=\int_{-\frac{h}{3}}^{\frac{2}{3}h} \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{1}{540}bh^5\);
- lunghezza corda: \(l(y):=\left(\frac{2}{3}+\frac{y}{h}\right)b\);
- definizione funzione: \(f(y):=\int_y^{\frac{h}{3}} l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{b}{81h}\left(h-3y\right)\left(2h+3y\right)^2\);
- calcolo integrale: \(I:=\int_{-\frac{2}{3}h}^{\frac{h}{3}} \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{1}{540}bh^5\).
Dato che le regioni di piano con cui sto lavorando sono assegnate come unione di triangoli (dei quali conosco le coordinate dei tre vertici in senso antiorario), per il calcolo di area, momenti d'inerzia, ... non ho fatto altro che sommare i contributi di ogni singolo triangolo. Mi piacerebbe capire se tale modus operandi sia applicabile anche per il calcolo dell'integrale di cui sopra. In particolare, mi piacerebbe capire se fosse possibile calcolare \(bh^5/120\) partendo dai \(bh^5/540\) ottenuti dai due triangoli, la cui unione origina il rettangolo del secondo caso.
Naturalmente, capita la strategia, poi dovrà funzionare a prescindere dalla specifica suddivisione in triangoli della regione in esame, il fatto che l'abbia suddivisa solo in quei due triangoli è per semplicità espositiva.