$ \RR^3 $
marcopulv19 ha scritto:Salve, torno nel merito, sono ancora nel mezzo del corso quindi lungi dall'avere chiaro gli argomenti.
Il campo elettrostatico generato da una carica elementare viene presentato come conservativo durante il corso di fisica. Visto ciò che anche Fioravante ha detto, questo non è corretto...o sbaglio? Questo ha un buco in (0,0,0) quindi non semplicemente connesso e quindi non è conservativo.
E' chiaramente irrotazionale, comunque. Tuttavia, una definizione di campo conservativo è anche quella che afferma che posso esprimerlo come gradiente di una funzione(potenziale) scalare. Ed infatti è cosi, per il campo elettrostatico...
Qui entriamo nel merito della topologia algebrica: attento che togliere un punto da $\RR^2$ e da $\RR^3$ sono cose ben diverse.
Ricorda che una caratterizzazione dei campi conservativi è anche che il lavoro compiuto dal campo lungo un qualsiasi cammino chiuso dev'essere nullo.
Ricordiamo inoltre che vale sempre che conservativo implica irrotazionale, mentre il viceversa vale solo nei domini semplicemente connessi.
Molto brutalmente, un dominio è semplicemente connesso se, preso un qualsiasi cammino chiuso, lo riesco sempre a "schiacciare" ad un solo punto.
Se togliamo un punto da $\RR^2$ (ad esempio l'origine), e prendiamo un laccio attorno al punto tolto (cioé una circonferenza intorno l'origine), questo non riusciamo a "schiacciarlo" ad un punto, infatti $\RR^2$ meno un punto non è semplicemente connesso, in quanto si retrae per deformazione sulla circonferenza unitaria.
Se provi a calcolare il lavoro del campo di Fioravante lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, ti verrà un valore diverso da zero, dunque quel campo non è conservativo.
Le cose sono ben diverse in $\RR^3$, dove hai una dimensione in più.
Togliamo ad esempio l'origine da $\RR^3$ e prendiamo una circonferenza che gira attorno l'origine. Domanda: questa circonferenza riusciamo a schiacciarla ad un punto? Sì, perché ho una dimensione in più appunto.
Difatti $\RR^3$ meno un punto è semplicemente connesso dato che si retrare per deformazione sulla sfera.
Dunque non è vero che ogni dominio "con buchi" non è semplicemente connesso, dipende da com'è fatto.
Per avere un dominio non semplicemente connesso in dimensione 3, si può ad esempio considerare $\RR^3$ meno una retta: questo non è semplicemente connesso.