Serie con due indici

[jontao]

Qualcuno può spiegarmi perche:
$\sum_{k,l=1}^{\infty}\frac{p^2}{k+l-1}(1-p)^{k+l-2} = \sum_{j=2}^{\infty}\sum_{l=1}^{j-1}\frac{1}{j-1}{p^2(1-p)^{j-2}}$
E
$\sum_{k,l=1}^{\infty} kl = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{k}kl=\sum_{k=1}^{\infty}k^2+\sum_{k=1}^{\infty}k\sum_{l=1}^{k-1}l$

[3m0o]

Ciao! Per quanto riguarda la prima sommatoria, diciamo che \(a_{k,\ell}(p) = \frac{p^2(1-p)^{k+\ell-2}}{k+\ell-1}\). Quando \(k+\ell =2\) hai soltanto la possibilità che \(k=1\) e \(\ell=1\). Quando \( k+\ell = 3 \) hai che se \(\ell=1\) allora \(k=2\) mentre se \(\ell=2\) hai \( k=1\), qualunque altro valore di \(\ell\) non ti permette di ottenere \(k+\ell=3\). In generale quando \( k+\ell=j\) hai che la scelta di \(1 \leq \ell \leq j-1\) determina la scelta di \(1 \leq k \leq j-1\), quindi in totale quante coppie \((k,\ell)\) distinte ci sono tale che \(k+\ell=j\)? Sono esattamente \(j-1\), che corrisponde a scegliere \(1 \leq \ell \leq j-1\). Qual è il valore più piccolo possibile per \( j \)? Beh è \(2\) quindi la prima sommatoria indicizzata su \(j\) parte da \(j=2\). Nota che fissando il valore di \(j=k+\ell\) il termine \( a_{k,\ell}(p)= \frac{p^2(1-p)^{j-2}}{j-1} \) è costante per ogni possibile coppia \((k,\ell) \) tale che \(k+\ell=j\), quindi ti basta contare quante di queste coppie ci sono tale che \(k+\ell =j \). Le abbiamo contate prima, sono esattamente \(j-1\) per cui la seconda sommatoria è \( \sum_{\ell=1}^{j-1} \frac{p^2(1-p)^{j-2}}{j-1} = (j-1) \cdot \frac{p^2(1-p)^{j-2}}{j-1} \), poiché per ogni valore di \(j\) hai che \(\ell\) può essere scelto tra \(j-1\) valori.

Per quanto riguarda la seconda sommatoria credo sia sbagliata. Dovrebbe essere
\[ \sum_{k,\ell=1}^{\infty} k \ell = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} k \sum_{\ell=1}^{k-1} \ell \]
Prova a usare un metodo simile a quello precedentemente usato da me per l'altra sommatoria per capire come mai e vedi se riesci. Magari inizialmente ragiona sul quadrato \( 1 \leq k,\ell \leq 3 \).

Edit: Per quadrato intendo \[\begin{matrix}
1\cdot 1& 2 \cdot 1 & 3 \cdot 1 \\
1\cdot 2& 2 \cdot 2 & 3 \cdot 2\\
1\cdot 3& 2 \cdot 3 & 3 \cdot 3
\end{matrix} \]

[pilloeffe]

Ciao jontao,

Concordo con 3m0o, quando

Per quanto riguarda la seconda sommatoria credo sia sbagliata. Dovrebbe essere
\( \displaystyle \sum_{k,\ell=1}^{\infty} k \ell = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} k \sum_{\ell=1}^{k-1} \ell \)

Però secondo me è sbagliata anche questa, nel senso che nella terza sommatoria l'indice non può partire da $k = 1 $, altrimenti nella quarta risulterebbe \( \displaystyle \sum_{\ell=1}^0 \ell \) , quindi direi che parte da $k = 2$:

\( \displaystyle \sum_{k,\ell=1}^{\infty} k \ell = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 + 2 \sum_{k=2}^{\infty} k \sum_{\ell=1}^{k-1} \ell \)

[3m0o]

Ciao pilloeffe!
Credo proprio che la mia fosse una svista, ma ti faccio notare comunque che non è un errore poiché abbiamo una somma vuota, infatti \( \sum_{\ell =1}^{0} \ell = 0 \) dunque \[ \sum_{k=1}^{\infty} k \sum_{ \ell=1}^{k-1} \ell = \sum_{k=2}^{\infty} k \sum_{ \ell=1}^{k-1} \ell \]