Salve a tutti, ho un dubbio inerente questo esercizio.
Bisogna dimostrare per induzione che:
$\sum_{k=-n}^n k^3=0$
Per il primo termine risulterebbe verificato
$-1^3+0^3+1^3=0$
Non so se abbia sviluppato un'idea giusta, ma concettualmente mi vien da dire che sommando termini opposti, ovviamente si ottiene lo zero.
Però non so come scriverlo.
Credo di sbagliare gravemente dicendo che, per $n+1$ potrei scrivere la sommatoria in modo da ricondurmi a
$\sum_{k=-(n+1)}^(n+1) k^3=0$
$\sum_{k=-n}^n k^3 + (n+1)^3 - (n+1)^3=0$
Allora ho pensato che potrei spezzare la sommatoria in due
$\sum_{k=(0)}^(n) k^3$
$\sum_{k=-n}^(0) k^3$
La prima ha una dimostrazione nota in quanto somma di cubi, la seconda molto "terra terra" raccoglierei il segno meno e otterrei la stessa formula per la somma di cubi.
I due valori, essendo di segno opposto, si elidono.
Dunque si riconduce ad usare l'induzione per dimostrare
$\sum_{k=0}^n k^3=0$
Probabilmente ho detto una marea di idiozie e chiedo perdono, ma gradirei una mano per formalizzare questa dimostrazione. Quel $k=-n$ non l'ho mai incontrato.
Grazie mille e buona giornata a tutti