Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
01/02/2024, 11:22
Salve!
Sono alle prese con questo esercizio, ma non saprei come procedere..-
Dimostrare per induzione che
$ int_(0)^(+oo) x^n*e^(-x) dx = n! $
01/02/2024, 11:30
Ciao Elagabalus04, benvenut* sul forum!
In che senso non sai come procedere? Dove ti blocchi? Il principio di induzione inizia con una richiesta ben specifica: quanto vale $\int_0^{+\infty} x^0 e^{-x} \text{d}x$? E quanto vale $0!$?
Inoltre, una nota terminologica: gli integrali non si "dimostrano", si calcolano. Al più, qui ha senso richiedere "Dimostrare che vale l'uguaglianza..."
01/02/2024, 19:26
Ciao Elagabalus04,
Ponendo $I_n := \int_0^(+\infty) x^n e^(-x) \text{d}x $ devi dimostrare che $I_n = n! $
Per $n = 0 $ si ottiene $I_0 $ che è l'integrale che ti ha già scritto Mephlip che si calcola elementarmente: devi far vedere che $I_0 = 0!$
01/02/2024, 21:34
Sì ho sbagliato a scrivere, mi scuso ma non avevo capito come calcolare l'integrale in n+1
01/02/2024, 22:09
Prova a calcolare $I_{n + 1}$ per parti.
02/02/2024, 09:41
Ok grazie
03/02/2024, 19:50
Prego.
Visto che ormai dovresti aver capito come si fa, completiamo l'esercizio. Si vede subito che $I_0 = 0! = 1$
Ora, supponendo per ipotesi che sia $I_n = n! $, vogliamo dimostrare che $I_{n + 1} = (n + 1)! $
Infatti integrando per parti si ha:
\( \displaystyle \begin{align*} I_{n + 1} & = \int_0^{+\infty} x^{n + 1} e^{- x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} \bigg[ -x^{n + 1} e^{-x} \bigg]_0^M + (n + 1) \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} [- M^{n + 1} e^{-M}] + (n + 1) I_n = (n + 1)I_n = (n + 1)n! =\\
& = (n + 1)!
\end{align*} \)
come volevasi dimostrare. \( \displaystyle \Box \)
05/02/2024, 19:13
Non trovavo più la mail di risposta ma alla fine mi è venuto allo steso modo. Grazie mille a tutti!
PS: bella la foto profilo del primo user che mi ha risposto
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