Limite di funzione composta

Ciao a tutti, ho una domanda sul teorema del limite di una funzione composta.
Siano $f(x):A->B$ e $g(x):B->C$, sia $x_0$ punto di accumulazione di $A$ e $y_0=f(x_0)$ punto di accumulazione per $B$. Se $lim_(x->x_0)f(x)=y_0$ e $lim_(y->y_0)g(y)=l$ e se $f(x)$ diverso da $y_0$ in un intorno di $x_0$ allora $lim_(x->x_0)g(f(x))=l$. Non avendo fatto la dimostrazione non capisco perché sia necessaria l’ultima ipotesi, ovvero che $f(x)$ sia diverso da $y_0$ in un intorno di $x_0$, me lo sapete spiegare per favore?

Prendiamo:

$f:RR-> RR$ con $f(x) = 0$

$g: RR -> RR$ con $g(y) = \{(1, ", se " y !=0), (0, ", altrimenti"):}$

ed $x_0 = 1234$.

Cosa succede se calcoli il limite $lim_(y -> f(1234)) g(y)$?
E quanto vale $lim_(x -> 1234) g(f(x))$?

Il primo fa 1 e il secondo fa zero giusto?

Il modo peggiore di rispondere ad una domanda è porne un'altra.

Perché hai dato quei risultati? Posta i calcoli, se cerchi conferma.
Se non ne hai bisogno, cosa deduci dai risultati?

Ok no questo mi torna grazie, perché quando calcolo $lim_{x->x_0}g(f(x))$ sto in pratica facendo il $lim_{x->x_0}g(0)=1$. Ma se prendessi g continua in y0 cambierebbe qualcosa?

Se la componente esterna è continua in $y_0 = lim_(x -> x_0) f(x)$ allora puoi effettivamente fare a meno della condizione "$f(x) != y_0$ intorno ad $x_0$".

Quindi l’ipotesi va cambiata in “$g(x)$ continua in $y_0$ oppure $f(x)$ diverso da $y_0$ in un intorno di $x_0$”? Quando dice che $f(x)$ dev’essere diverso da $y_0$ in un intorno di $x_0$ cosa si intende? Che deve esistere almeno un intorno di $x_0$ in cui $f(x)$ è diverso da $y_0$?

Sì, ad entrambe le domande.

Ok grazie mille !