Domanda su una sommatoria

[Mistral]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Crook</i>

Una semplice domanda:
può una sommatoria di reciproci di numeri dispari dare come risultato un numero intero? Ovviamente il numero dei termini sommati deve essere anch'esso dispari.

1/3+1/5+1/7+...+1/d = intero ? dove d è un qualsiasi numero dispari.

Grazie
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
La risposta credo sia no ecco un abbozzo di dimostrazione.

Se per assurdo esiste un valore dispari d per cui la sommatoria S(d)=1/3+1/5+1/7+...+1/d=n intero, allora sicuramente d>3, dato che 1/3 non è intero, quindi si ha:

5*7*...*d+3*7*...*d+....+3*5*7*...*(d-2)=n*3*5*7*...*(d-2)*d

allora 3 deve dividere il primo addendo, quindi d>=9 ma allora 9 deve dividere il 4° addendo quindi d>=27=3^3, quindi 27 deve dividere il 13=(27-1)/2 addendo quindi d>=3^4 etc...quindi d non può essere finito da cui l'assurdo.

La chiamerei una salita infinita [:D], mi sembra giusta carina vero?

Saluti
Mistral

ERRATA CORRIGE
Dimostrazione carina ma sbagliata [:D]!
Mistral

[Pachito]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">
sommatoria di reciproci di numeri dispari<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
1/3+1/3+1/3=1
[:D]

[Mistral]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Crook</i>

Non penso ti sia accorto, Mistral, ma la domanda che ho fatto equivale a chiedervi: "Qualcuno sa dimostrare perchè i numeri perfetti non possono essere dispari?".
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Non me ne ero accorto.
Comunque due proposizioni sono equivalenti quando dalla verità/falsità di una di esse deduci la verità/falsità dell'altra e viceversa. Non mi sembra il caso che tu citi (numero perfetto=numero somma dei suoi divisori, mentre la somma dei reciproci dei divisori di un numero è in generale diversa dalla somma parziale della serie dei numeri numeri dispari).
Saluti
Mistral