Sui metodi e sulle definizioni delle varie branche della Matematica

Salve, stando ancora al terzo anno del corso di laurea triennale di Matematica e dunque avendo ancora pochissima esperienza nel campo, mi piacerebbe confrontarmi con voi, che ne avete molta di più, per poter parlare delle differenze di metodo che si adotta in genere nello studio delle varie branche della Matematica e quale potrebbe essere una definizione per le principali. Io, ovviamente mi limiterò a quelle che conosco maggiormente, ma se qualcuno volesse parlare anche di altri ambiti, è di sicuro ben accetto.
(1)Geometria
Penso che rifacendomi a Klein, la definirei, come quella branca della Matematica che si occupa dello studio delle proprietà invarianti di uno spazio sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni (ora non mi viene come definire un concetto generale di spazio che effettivamente includa tutte le nozioni che effettivamente si trovano in Geometria). Per quanto riguarda l'approccio delle dimostrazioni, mi sembra che in genere tenda a essere costruttivo e basato comunque sul dimostrare che sussistono equivalenze tra spazi, formalizzando un qualcosa che può essere intuitivo.
(2)Algebra
In maniera simile alla Geometria (e che siano simili, penso che possa essere dovuto al fatto che esiste una certa dualità), la definirei come quella branca della Matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche. Per quando riguarda l'approccio delle dimostrazioni, mi sembra tendenzialmente basato più su dimostrazioni "esistenziali" e si basano quasi esclusivamente sulla definizione formale dell'oggetto e l'intuizione trova ben poco spazio.
(3)Analisi
Forse la definirei come quella branca della Matematica che si occupa dello studio di proprietà di funzioni o di spazi di funzioni. Dal punto di vista dell'approccio, mi sembra basarsi molto di più sull'approssimare con oggetti più semplici, situazioni più complesse, inoltre si basa più su disuguaglianze che su uguaglianze. Infine, anche qui mi sembra che l'approccio sia costruttivo.

Per quanto riguarda probabilità e statistica, analisi numerica, sistemi dinamici, logica e fondamenti e tanto altro, ne so così poco che onestamente non me la sento di esprimermi.
Spero di non avervi annoiato troppo con questo topic.

Definire la natura di ciascuna delle parti della Matematica moderna è diventato praticamente impossibile a partire dalla seconda metà del '900. La Geometria stessa si rompe in varie sotto-discipline e come puoi vedere https://mathscinet.ams.org/msnhtml/msc2020.pdf la tassonomia è troppo variegata per descrivere in un paio di paragrafi "cosa è l'algebra/la logica/etc"... se, poi, ti interessa questo tipo di riflessione, continua semplicemente a studiare. Alcune linee e idee comuni ti si riveleranno col tempo.

Giuro, speravo in una tua risposta, megas_archon, e fondamentalmente sono d'accordo con te. Per come la vedo io, la tassonomia "universitaria" è legata a questioni di natura didattica e nulla più. In una visione più ampia, le mura di questa classificazione si sgretolano.

In base alla mia esperienza, le varie branche della matematica si occupano dell'esistenza e dell'eventuale unicità di "oggetti interessanti" (possono essere numeri, insiemi, mappe, strutture...) . Questa mia interpretazione della realtà matematica è figlia di un pensiero piuttosto ingenuo: I teoremi centrali di ogni teoria sono sempre di carattere esistenziale oppure servono a evidenziare l'unicità di qualcosa.

Se condividiamo l'idea che le varie parti della matematica tentano di astrarre alcune categorie del pensiero, la tassonomia delle entità matematiche è ispirata alla tassonomia del mondo reale. Quest'ultima è altamente arbitraria e congetturale, e dunque congetturale è la suddivisione delle aree della matematica da essa derivata.

Ogni considerazione che cerchi di essere più intrinseca non ha speranza di essere anche informativa, perché è troppo generale: ad esempio, io sono un convinto fautore dell'idea che la "matematica" sia definibile come l'insieme degli asserti che è possibile derivare, in un certo metalinguaggio $M$, a proposito dei concetti primitivi di struttura ("ottenere, a partire da una $n$-upla di elementi di tipo $t$ assegnato, un $(n+1)$-esimo elemento che ne è la loro concatenazione": questa è l'algebra, ma anche la geometria non metrica), misura ("determinare qual è la dimensione/area/perimetro/larghezza/complessità di un oggetto dato": questa è la teoria della misura, la geometria euclidea/riemanniana, etc.), e inferenza (logica, teoria degli ordini, topologia, spazi di premisura, ma anche la nozione di spazio metrico...)

Questa suddivisione dello scibile è congetturale? Certo, non meno delle altre. Raggruppa alcune discipline insieme in maniera peculiare? A prima vista sì, ma penso di saper sostanziare questa scelta sulla base di teoremi -spesso anche profondi-.

Grazie per aver espresso la vostra opinione. Conoscevo la classificazione e sapevo della grande varietà di argomenti, ma speravo fosse possibile trovare pattern, forse, come avete detto, ciò potrebbe essere dovuto a come mi viene insegnata, e infatti, in alcuni casi, approfondendo aspetti curiosi, si arriva a vedere che ci sono tanti "sentieri" che neanche vengono percorsi durante l'università, per motivi, di solito, didattici. Comunque, sia l'idea di divisione proposta da megas_archon, sia la descrizione data da Mathita risultano interessanti. Un'altra opinione che mi diede un algebrista, è che in Matematica, si tende a cercare di risolvere problemi di ottimizzazione. Onestamente capivo cosa intendesse nel caso dell'Analisi, ma finchè non citò limiti e colimiti, strutture algebriche generate e altro, non capii immediatamente come ciò si potesse ritrovare in Geometria e Algebra.

Un'altra opinione che mi diede un algebrista, è che in Matematica, si tende a cercare di risolvere problemi di ottimizzazione.

Chi era questo algebrista?

Un dottorando con cui ho parlato in dipartimento.