Salve, stando ancora al terzo anno del corso di laurea triennale di Matematica e dunque avendo ancora pochissima esperienza nel campo, mi piacerebbe confrontarmi con voi, che ne avete molta di più, per poter parlare delle differenze di metodo che si adotta in genere nello studio delle varie branche della Matematica e quale potrebbe essere una definizione per le principali. Io, ovviamente mi limiterò a quelle che conosco maggiormente, ma se qualcuno volesse parlare anche di altri ambiti, è di sicuro ben accetto.
(1)Geometria
Penso che rifacendomi a Klein, la definirei, come quella branca della Matematica che si occupa dello studio delle proprietà invarianti di uno spazio sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni (ora non mi viene come definire un concetto generale di spazio che effettivamente includa tutte le nozioni che effettivamente si trovano in Geometria). Per quanto riguarda l'approccio delle dimostrazioni, mi sembra che in genere tenda a essere costruttivo e basato comunque sul dimostrare che sussistono equivalenze tra spazi, formalizzando un qualcosa che può essere intuitivo.
(2)Algebra
In maniera simile alla Geometria (e che siano simili, penso che possa essere dovuto al fatto che esiste una certa dualità), la definirei come quella branca della Matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche. Per quando riguarda l'approccio delle dimostrazioni, mi sembra tendenzialmente basato più su dimostrazioni "esistenziali" e si basano quasi esclusivamente sulla definizione formale dell'oggetto e l'intuizione trova ben poco spazio.
(3)Analisi
Forse la definirei come quella branca della Matematica che si occupa dello studio di proprietà di funzioni o di spazi di funzioni. Dal punto di vista dell'approccio, mi sembra basarsi molto di più sull'approssimare con oggetti più semplici, situazioni più complesse, inoltre si basa più su disuguaglianze che su uguaglianze. Infine, anche qui mi sembra che l'approccio sia costruttivo.
Per quanto riguarda probabilità e statistica, analisi numerica, sistemi dinamici, logica e fondamenti e tanto altro, ne so così poco che onestamente non me la sento di esprimermi.
Spero di non avervi annoiato troppo con questo topic.