Innanzitutto noterei che, per similitudine fra triangoli, vale la proporzione: \[
r : R = h : H \quad \quad \Rightarrow \quad \quad r = \frac{R\,h}{H}.
\] Quindi, sezionando il cono con un piano parallelo alla base si ottiene un cerchio di area: \[
A = \pi r^2 = \pi\left(\frac{R\,h}{H}\right)^2.
\] Pertanto, che ne so, se immaginiamo un cono composto da \(8\) fette di spessore \(\Delta H\), si ha: \[
\begin{aligned}
V
& \approx \sum_{i=1}^8 A_i\Delta H \\
& = \sum_{i=1}^8 \pi\left(\frac{R\,h_i}{H}\right)^2\frac{H}{8} \\
& = \frac{\pi R^2}{8H}\sum_{i=1}^8 h_i^2 \\
& = \frac{\pi R^2}{8H}\left[\left(1\frac{H}{16}\right)^2+\left(3\frac{H}{16}\right)^2+\dots+\left(15\frac{H}{16}\right)^2\right] \\
& = \frac{\pi R^2H}{8\cdot 16^2}\left(1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+13^2+15^2\right) \\
& = \frac{\pi R^2H}{8\cdot 16^2}\cdot 680 \\
& \approx 0.332031\,\pi R^2H.
\end{aligned}
\] Ripetendo il gioco con più fette sempre più sottili si nota che il coefficiente si avvicina a \(1/3\).
D'altro canto, credo sia già troppo complicato per le scuole medie, al più lo farei per via sperimentale travasando dall'acqua da un cono in un cilindro graduato con stessa altezza e stessa area di base.