Esercizi sui gruppi.

[hydro]

solaàl, purtroppo, non riesce a vedere nessuna biiezione tra $G$ ed $RR$.

Hai trovato una biiezione tra $G$ e \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\). Se vuoi trovare una biiezione tra $G$ ed $\mathbb R$, basta trovarne una tra \(\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}\) ed $\mathbb R$ e comporre.

[solaàl]

Devi mostrare due cose: se togli a un insieme infinito un numero finito di elementi, resta infinito (della stessa cardinalità); il prodotto di due insiemi infiniti è infinito, della cardinalità del maggiore dei due.

Se ti aspetti di scrivere una biiezione esplicita tra \(\mathbb R\) e \(\mathbb R^2\) (o \(\mathbb R^2 \setminus\{p_1,\dots,p_n\}\), è lo stesso) beh, buon lavoro: per il teorema di invarianza della dimensione, una biiezione \(\mathbb R \cong \mathbb R^2\) non può essere continua in nessun intorno aperto di nessun punto. https://mathoverflow.net/questions/1260 ... o-mathbbr2

[Pasquale 90]

Le due dimostrazione che mi hai chiesto già le conosco quindi, non terrebbe alcun senso riportarle.
Per quanto possa essere banale, purtroppo, non sono riuscito a determinare nessuna biiezione da $G$ in $RR$.
Quella che ho postato per ultimo mi sembrava un'ottima candidata però, vedo che non lo è.
Se ti va scrivila tu questa "famosa" mappa.

Ciao e grazie.

[solaàl]

Cosa non ti è chiaro della locuzione "componi una biiezione tra \(G\) e \(\mathbb R^2\) con una biiezione tra \(\mathbb R\) e \(\mathbb R^2\)"?

[Pasquale 90]

$f:(a,b) in RR^2 \setminus {(0,0)} \ to A in G$ con \(\displaystyle A= \begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix} \in G. \)
$g:x in RR to (x,b) in RR^2 \setminus{(0,0)}$, con $b in RR$.

Per $f$,
Iniettività:
$(a,b), (c,d) in RR^2"\setminus{(0,0)}$ tali che $f(a,b)=f(c,d) leftrightarrow A=B$ allora $a=b, c=d$ quindi $(a,b)=(c,d)$ cioè $f$ è iniettiva.
Suriettività:
Per come è stata definita $f$ è suriettiva.

Per $g$,
Iniettività:
$x,y in RR$ tali che $x ne y$ allora $g(x)=(x,b) ne (y,b)=g(y)$ cioè $g$ è iniettiva.
Suriettività:
$(x,b)in RR^2\setminus{(0,0)}$ allora $exists x in RR$ per cui $(x,b)=g(x)$ quindi $g$ è suriettiva.

Per la composta $g circ f : x in RR to X in G $ con \(\displaystyle X=\begin{vmatrix} x & b \\ -b & x \end{vmatrix}. \)
Potrebbero andare bene ?

[solaàl]

Va tutto meno che bene: \(g\) non è una funzione.

[Pasquale 90]

La $g$ l'ho presa dalle slide della mia prof. quel che cambia, cambiano solamente i nomi degli insiemi.

[solaàl]

I casi sono tre:

1. Ci sono università dove la definizione di funzione viene data sbagliata (non mi stupirebbe, non mi stupisce piu nulla ormai);
2. Hai letto male la definizione;
3 C'è un errore in quello che hai letto, perché il tuo docente è un essere umano che copia dal Libro.

Anzi, quattro: hai scritto una cosa, ti sembra di aver detto quello che intendevi, ma in realtà intendevi un'altra cosa.

Come ti ho detto, poi, nessuna biiezione tra il piano e la retta può essere continua: non hai alcuna speranza di scriverla combinando funzioni "elementari".

Sia come sia, \(g\) non è una funzione: chi è \(b\)? Un fissato elemento di \(\mathbb R\)? E allora come fa \(g\) a essere suriettiva? Se, invece, intendi che \(x\) viene mandato nell'insieme di tutti gli elementi della forma \((x,b\)\), allora ad un elemento di \(\mathbb R\) ne corrispondono un'infinità (esattamente tanti quanti gli elementi di \(\mathbb R\)). In questo caso, \(g\) non è una funzione.

[Pasquale 90]

La $g$ è definita per determinare la relazione $|S| le |S times T| $
Ho fissato un elemento $b$ in $RR$ e ho fatto variare la $x in RR$.
Cosa intendi con

Cosa non ti è chiaro della locuzione "componi una biiezione tra \( G \) e \( \mathbb R^2 \) con una biiezione tra \( \mathbb R \) e \( \mathbb R^2 \)"?

[solaàl]

Come fa \(g\) a essere suriettiva? Fammi vedere, I double dare you.

Quello che semmai stai cercando di applicare è il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein: se tra due insiemi esistono due funzioni iniettive in direzioni opposte, allora ne esiste una biiettiva. Queste sono le funzioni \(f,g\) che hai trovato. Del resto, sapere che da qualche parte nel mondo esiste una funzione biiettiva è largamente diverso dall'aver indicato col dito, e scritto esplicitamente, quella biiezione. (E tra parentesi, CSB non è gratis, dipende dall'assioma della scelta.)

Quello che non puoi fare, è scrivere una biiezione tra \(\mathbb R\) ed \(\mathbb R^2\) che sia una funzione elementare o una composizione di funzioni elementari; ma di biiezioni ce ne sono: ti ho linkato, già da parecchio, un thread di MSE dove viene costruita una tale biiezione. L'hai letto? Che te ne pare? Ha aiutato? Sì? No?