Forse bisognerebbe aggiungere l'esattezza delle righe da sinistra a destra.
Mostrerò che il seguente diagramma esiste ed è commutativo.
Definisco \(\displaystyle \varepsilon_1 \colon \ker f \to \ker f' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_1(a_1) = k_1 (a_1) \).
Si ha \(\displaystyle f' (k_1 (a_1)) = j_1 (f(a_1))=0 \) quindi \(\displaystyle \varepsilon_1 \) è ben definita.
Definisco \(\displaystyle \varepsilon_2 \colon \ker g \to \ker g' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_2(a_2) = k_2 (a_2) \) ed \(\displaystyle \varepsilon_3 \colon \ker h \to \ker h' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_3 (a_3)= k_3 (a_3) \): queste mappe sono ben definite per lo stesso motivo per cui è ben definita \(\displaystyle \varepsilon_1 \).
Ora devo dimostrare che \(\displaystyle \varepsilon_2 \alpha^\prime_1 = \gamma_1^\prime \varepsilon_1 \) cioè che per ogni \(\displaystyle a_1 \in \ker f \) si abbia \(\displaystyle k_2(\alpha_1(a_1))=\gamma_1 (k_1(a_1)) \) il che è vero.
Similmente si verifica che \(\displaystyle \varepsilon_3 \alpha^\prime_2 = \gamma_2^\prime \varepsilon_2 \).
Definisco \(\displaystyle \varepsilon_4 \colon \text{coker } f \to \text{coker } f' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_4 (b_1 + f(A_1)) = j_1(b_1) +f'(C_1) \).
Supponiamo \(\displaystyle b_1 + f(A_1)=b_1' + f(A_1) \) cioè \(\displaystyle b_1 - b_1' \in f(A_1) \). Esiste, allora, \(\displaystyle a_1 \in A_1 \) tale che \(\displaystyle b_1 - b_1'=f(a_1) \). Di conseguenza si ha \(\displaystyle j_1 (b_1 - b_1') = j_1(f(a_1)) = f' (k_1 (a_1)) \in f'(C_1) \) quindi \(\displaystyle \varepsilon_4 \) è ben definita.
Definisco \(\displaystyle \varepsilon_5 \colon \text{coker } g \to \text{coker } g' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_5 (b_2 + g(A_2)) = j_2(b_2) +g'(C_2) \) ed \(\displaystyle \varepsilon_6 \colon \text{coker } h \to \text{coker } h' \) ponendo \(\displaystyle \varepsilon_6 (b_3 + h(A_3)) = j_3(b_3) + h'(C_3) \): queste mappe sono ben definite per lo stesso motivo per cui è ben definita \(\displaystyle \varepsilon_4 \).
Ora devo dimostrare che \(\displaystyle \varepsilon_5 \overline{\beta_1} = \overline{\delta_1} \varepsilon_4 \) cioè che per ogni \(\displaystyle b_1 + f(A_1) \in \text{coker } f \) si abbia \(\displaystyle \varepsilon_5( \overline{\beta_1}( b_1 + f(A_1)))= \overline{\delta_1} (\varepsilon_4( b_1 + f(A_1) )) \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \) \(\displaystyle j_2( \beta_1( b_1 ))+g'(C_2)= \delta_1 (j_1( b_1 ))+ g'(C_2) \) il che è vero perché \(\displaystyle j_2 \beta_1 = \delta_1 j_1 \).
Similmente si dimostra che \(\displaystyle \varepsilon_6 \overline{\beta_2} = \overline{\delta_2} \varepsilon_5 \).
Resta da dimostrare che \(\displaystyle \delta ' \varepsilon_3 = \varepsilon_4 \delta \) cioè che per ogni \(\displaystyle a_3 \in \ker h \), si abbia \(\displaystyle d_1 + f'(C_1) = j_1(b_1) + f'(C_1) \) dove \(\displaystyle \delta(a_3)=b_1 + f(A_1) \) e \(\displaystyle \delta' (k_3(a_3)) =d_1 + f'(C_1) \).
Sia \(\displaystyle a_2 \in A_2 \) tale che \(\displaystyle \alpha_2(a_2)=a_3 \) e sia \(\displaystyle c_2 \in C_2 \) tale che \(\displaystyle \gamma_2(c_2) = k_3(a_3) \) (si ricordi la costruzione delle mappe di bordo \(\displaystyle \delta \) e \(\displaystyle \delta' \)). Allora si ha \(\displaystyle \gamma_2(k_2(a_2))=k_3(\alpha_2(a_2))=k_3(a_3)=\gamma_2(c_2) \) quindi \(\displaystyle k_2(a_2) - c_2 \in \ker \gamma_2= \text{Im } \gamma_1\) perciò esiste \(\displaystyle c_1 \in C_1 \) tale che \(\displaystyle k_2(a_2) - c_2 = \gamma_1(c_1) \).
Si ha \(\displaystyle \delta_1(f'(c_1)) = g'( \gamma_1(c_1))=g'(k_2(a_2)-c_2)= g'(k_2(a_2)) - g'(c_2)= \)
\(\displaystyle =j_2(g(a_2)) - \delta_1(d_1) = j_2( \beta_1 (b_1)) - \delta_1(d_1) = \delta_1(j_1(b_1) - d_1) \).
Per l'iniettività di \(\displaystyle \delta_1 \) si ha \(\displaystyle j_1(b_1) - d_1 = f'(c_1) \in f'(C_1) \) da cui la tesi.
A parti errori di battitura e sviste varie, spero che l'impianto generale della dimostrazione abbia senso.