dimostrazione sulla cardinalità: quale è lo sbaglio?

nulla vieta di considerarla monotòna

Non è vero.

Supponiamo che sia crescente; allora \( \displaystyle \sup_{]0,1[} f=1 \) ed il \( \displaystyle \sup \) è un \( \displaystyle \max \) , perchè \( \displaystyle 1\in f(]0,1[)=[0,1] \) , anzi \( \displaystyle 1 \) è il massimo assoluto di \( \displaystyle f(x) \) ; ma \( \displaystyle 1 \) non può essere assunto in un punto interno all'intervallo \( \displaystyle ]0,1[ \) , perchè altrimenti la monotonia implicherebbe che \( \displaystyle f(x)=1 \) in un intorno sinistro di \( \displaystyle 1 \) , contraddicendo la biiettività.

Beh, che dire la soluzione col grafico non è male, rende anche molto geometricamente ed è facile da ricordare, inoltre mette in evidenza il fatto che una biiezione \( \displaystyle (0,1) \to [0,1] \) non può essere troppo regolare... tuttavia (inutile dirlo) l'altra soluzione mi affascina di più ... Mi sembra più "pulita", più formalizzata, più chiara. E per me queste caratteristiche ne superano altre, come l'intuibilità. Inoltre c'è da dire che la soluzione "algebrica" mi dà l'aria di essere applicabile anche in altri contesti, mentre quella "analitica" mi sembra fatta troppo 'ad hoc' per questo caso. Mi piacciono i ragionamenti generalizzabili.

Potrebbe esserti utile il mio blog con la parte dedicata all'insiemistica.

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Sinceramente non vedo come...

Sono uno studente delle superiori, e perdonate la mia ignoranza. Ma io non riesco a capire come sia possibile creare una corrispondenza biunivoca fra questo insieme [0, 1] e una successione infinitesima costituita da infiniti elementi.

Qualcuno mi illumini!

Infatti non è possibile.
La cardinalità di \( \displaystyle [0,1] \) è strettamente più grande della cardinalità di qualsiasi successione; detto rozzamente, in \( \displaystyle [0,1] \) ci sono infiniti elementi, ma sono "più infiniti" di quelli di qualsiasi successione.

Anch'io ho questo problema ma poi ho pensato all'insieme di Cantor; i vari intervalli che diventano sempre più piccoli sono chiusi quindi è chiuso anche l'insieme di Cantor che ha la potenza del continuo, quindi anche gli intervalli chiusi hanno la potenza del continuo come gli intervalli aperti. Per favore, dato che rimango un po' confuso, potete postare una dimostrazione esatta?