Direi che è arrivato il momento di prendere un po' confidenza con questa sezione.
Volevo un parere su questa questione. Un esercizio mi chiedeva:
Mostrare che ogni gruppo finito con più di due elementi possiede automorfismi non banali.
Ecco, è oggi che l'ho letto quindi non è che ci abbia pensato molto.
In maniera "manuale" avevo fatto qualche caso, e mi è nata la domanda: nel caso in cui il gruppo \( \displaystyle G \) sia tale che ogni suo elemento ha ordine \( \displaystyle 2 \) , come è fatto tale automorfismo non banale?
Di un gruppo siffatto sappiamo che è abeliano, e che l'ordine è potenza di due. Poi ricorrendo ai p-gruppi penso si arrivi a qualcosa di più, ma non penso l'esercizio lo richieda.
A questo dubbio ci sono arrivato perchè ho voluto costruire a mano gli automorfismi nei vari casi.
Ricorrendo al coniugio, quindi prendendo \( \displaystyle g\inG \) fuori dal centro, e ponendo
\( \displaystyle \phi(x)=g^{-1}xg \) ho un automorfismo, ma diventa quello banale nel caso di abelianità.
Nel tal caso, l'automorfismo potrebbe essere
\( \displaystyle \phi(g)=g^{-1} \) .
Infatti iniettività e suriettività sono banali, e vale
\( \displaystyle \phi(ab)=b^{-1}a^{-1}=\phi(b)\phi(a)=\phi(a)\phi(b) \) avendo usato l'abelianità.
Nel caso che domando, notate che anche questo automorfismo scade in quello banale. Un hint per esibire questo automorfismo nel caso specifico?
Suppongo che in realtà questo spezzettamento di casi si evita, ed esiste un filo logico più globale, che magari ho anche fatto in passato ma ora non ricordo.
Osservazioni e contributi di vari tipo sono ben accette.
Buona giornata!
